Komplex analys #3 (Matematik/Universitet)

$(x + i y)^{2} = (x^{2} - y^{2}) + i 2 x y$

Hur tänker du sedan?

Jag kan väl inte kvadrera höger och vänsterled i min första rad hur som helst. När är dom ekvivalenta?

Hej!

Du frågar om kvadratroten ur ett komplext tal är ett komplext tal. Svaret på frågan är Ja!

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Du frågar om kvadratroten ur ett komplext tal är ett komplext tal. Svaret på frågan är Ja!
Albiki

Frågan var: När råder ekvivalens?

sexlaxarienslaksax skrev :
Jag kan väl inte kvadrera höger och vänsterled i min första rad hur som helst. När är dom ekvivalenta?

Prova...och kontrollera vad som händer.

Affe Jkpg skrev :

Prova...och kontrollera vad som händer.

Jag är lite efterbliven. Hur kan jag enklast kontrollera ekvivalens i fallet?

Albiki skrev :
Hej!
Du frågar om kvadratroten ur ett komplext tal är ett komplext tal. Svaret på frågan är Ja!
Albiki

Kan man, med andra ord, strunta i $\pm$ vid rotrdragning?

sexlaxarienslaksax skrev :
Affe Jkpg skrev :
Prova...och kontrollera vad som händer.
Jag är lite efterbliven. Hur kan jag enklast kontrollera ekvivalens i fallet?

$(x + i y)^{2} = (x^{2} - y^{2}) + i 2 x y (x + i y)^{2} = . . . . a . . . . . + i b$

sexlaxarienslaksax skrev :
Albiki skrev :
Hej!
Du frågar om kvadratroten ur ett komplext tal är ett komplext tal. Svaret på frågan är Ja!
Albiki
Kan man, med andra ord, strunta i $\pm$ vid rotrdragning?

Fundera över tecknen, värdemängd och definitionsmängd i följande:

$y = \sqrt{x} y = x^{\frac{1}{2}} y^{2} = (x^{\frac{1}{2}})^{2} y^{2} = x$

$y^{2} = x y = \pm \sqrt{x}$

Om x är ett komplext tal kan jag då strunta i (+/-) tecknet på sista raden?

Är svaret nej, då det beror på värdemängden?

sexlaxarienslaksax skrev :

$y^{2} = x y = \pm \sqrt{x}$
Om x är ett komplext tal kan jag då strunta i (+/-) tecknet på sista raden?
Är svaret nej, då det beror på värdemängden?

Nu skriver jag av delar av uppgiften:
$x + i y = \sqrt{a + i b}$

Du tycks vilja formulera en annan uppgift:
$x + i y = \pm \sqrt{a + i b}$

Om första raden i uppgiften är ekvivalent med andra raden så kan jag dra roten ur båda led i andra raden för att komma till första raden, utan hänsyn till (+/-) tecknet framför roten. Stämmer det?

Med andra ord, stämmer $(x + i y)^{2} = a + b i \Leftrightarrow \sqrt{(x + i y)^{2}} = \pm \sqrt{a + b i} \Leftrightarrow x + i y = \sqrt{a + b i}$ ?

sexlaxarienslaksax skrev :
Om första raden i uppgiften är ekvivalent med andra raden så kan jag dra roten ur båda led i andra raden för att komma till första raden, utan hänsyn till (+/-) tecknet framför roten. Stämmer det?
Med andra ord, stämmer $(x + i y)^{2} = a + b i \Leftrightarrow \sqrt{(x + i y)^{2}} = \pm \sqrt{a + b i} \Leftrightarrow x + i y = \sqrt{a + b i}$ ?