Komplex analys

Jag ska verifiera att - $i$ är en rot till ekvationen $x^{2} = - 1$

Jag har börjat med att man kan skriva - $i$ som $a + b i$ där $a = 0$ och $b = - 1$

Då får jag att ${(a + b i)}^{2} = a^{2} + 2 a b + {(b i)}^{2}$ (1)

I facit har dom sedan skrivit att (1) kan skrivas som $(a^{2} - b^{2}) + (2 a b) i$ men jag förstår inte varför det blir minus där och inte plus? Är det för att vi har sagt att b=-1, för varför blir det i så fall inte -(2ab)?

Hoppas att någon kanske kan hjälpa mig att reda ut den här förvirringen :)

(b*i)² = b*b*i*i = b*b*(-1) = -b²

Bedinsis skrev:
(b*i)² = b*b*i*i = b*b*(-1) = -b²

Det förstår jag, det jag undrar över stegen när $a^{2} + 2 a b + {(b i)}^{2}$ förenklas till $(a^{2} - b^{2}) + (2 a b) i$ . Varför blir det $(a^{2} - b^{2})$ och inte $(a^{2} + b^{2})$

För du har inget +b^2, du har ett -b^2. Och varför har du inget i på 2ab?

Från din egen ekvation (med Micimackos rättning):

$(1) a^{2} + 2 a b * i + {(b i)}^{2} = a^{2} + b * b * i * i + 2 a b * i = a^{2} + b^{2} * (- 1) + 2 a b * i = a^{2} - b^{2} + 2 a b * i = (a^{2} - b^{2}) + (2 a b) i$

Bedinsis skrev:
Från din egen ekvation (med Micimackos rättning):

$(1) a^{2} + 2 a b * i + {(b i)}^{2} = a^{2} + b * b * i * i + 2 a b * i = a^{2} + b^{2} * (- 1) + 2 a b * i = a^{2} - b^{2} + 2 a b * i = (a^{2} - b^{2}) + (2 a b) i$

Tack så mycket för hjälpen! Nu förstår jag vad det är som händer, tror att jag blev extra förvirrad för att jag råkade glömma ett i. Men nu hänger jag med på vad som händer i alla steg och varför det blir som det blir. Åter igen tack!

Är det inte enklare att stoppa in $i$ ? Då får du ju $i^2=-1$ VL förenklas till $-1$ som är samma som högerled. Alternativt kan du ju skriva på faktormform, om $-i$ är en rot och koefficienterna är reella är även $i$ en rot, detta ger $(x-i)(x+i)=x^2-i^2=x^2+1 \iff x^2=-1$ .

Annars kan du ju dra roten ur direkt: $x= \pm \sqrt{-1}$ och per definition är ju $\sqrt{-1}=i$ så du får $x= \pm i$

Svara

Visa senaste svar