Kompletta baser i kvantfysiken

Hej, jag är lite förvirrade över baser i kvantfysiken. Frågan är nog inte begränsad till fysik och jag tror att om man har bra kunskap om linjär algebra så kan man ignorera kvantfysiken här. Jag har följande axiom och satser att arbeta med:

(Vi antar att alla operatorer är hermitiska):

1. Egenfunktionerna till en operator för en observabel är komplett: en godtycklig funktion (i Hilbertrummet) kan uttryckas som en linjär kombination utav egenfunktionerna.

Här antar jag att dom menar komplett med att egenfunktionerna utgör en bas till Hilbertrummet.

2. Om två operatorer A, B är kompatibla ([A, B] =0) så delar dom en komplett mängd egenfunktioner.

Om vi nu har de hermitiska operatorer $L^2={L_x}^2+{L_y}^2+{L_z}^2$, $L_x$, $L_y$ och $L_z$ där $L^2$ är kompatibel med var och en av operatorerna $L_x,L_y,_L_z$ medans $L_x,L_y,_L_z$ inte är kompatibla med varandra  så vet vi att snittet mellan mängden av egenfunktioner till $L^2$ och t.ex $L_z$ utgör en bas, vi kallar den mängden $\alpha$. Men vi vet också att egenfunktionerna till bara $L_z$ utgör en bas, vi kallar den mängden $\beta$, men det betyder ju att delrummet med basen $\alpha$ inte nödvändigtvis är lika med delrummet med basen $\beta$, det betyder ju att det finns vågfunktioner $|\Psi>$ som finns i det ena delrummet men inte det andra och detta motsäger ju att att baserna är kompletta eftersom det finns vågfunktioner som inte går att beskrivas.

Vad är det jag har missuppfattat här? Det känns verkligen som jag har grävt mig in i grop, min tanke är att jag har missförstått axiomen/satserna? Eller är det att ett delrum har en lägre dimension än det andra...???

All hjälp uppskattas.