Kommer plankan välta?

Inte dessutom. Det var orsaken till hela problemet. De hade använt fel avstånd.

Men din första tanke var helt rätt. Du kan helt enkelt ignorera det vänstra stödet. (Om plankan välter medurs, är F_n = 0.)

---

Hade de räknat rätt:

F_N × 3,0 + 5,0g × 2,5 = 16g × 0,5. Detta ger FN = -15 N.

Vi ser att det krävs en nedåtriktad kraft på cirka 15 N vid den vänstra bocken för att plankan ska hållas i jämvikt. Det kan inte bocken leverera, därför välter plankan.

Stenenbert skrev:

Men jag har funderat länge och tycker ändå facit verkar fel. Facit försökte bevisa att plankan inte välter (att plankan är i jämvikt) genom att helt enkelt anta jämvikt och teckna jämviktsvillkor. Hur kan det räknas som ett bevis, om man på förhand antar att det som man ska bevisa gäller? Jag blir galen!!

Det blir ett bevis genom motsägelsefullhet. Alltså, de antar att jämvikt råder men resultatet visar att detta är omöjligt. Det vänstra stödet kan bara anbringa uppåtriktade krafter på plankan. 

Om facit säger att plankan inte välter är det fel i facit.

Tack för alla svar.

Men om vi låtsas att den beräkning som facit gjorde var rätt, skulle man väl inte kunna dra någon slutsats utifrån det? Man hade väl inte kunnat konstatera "balken inte välter". Låtsas nu bara att facit använde rätt mätvärden. I beräkningen fick facit F_N = 11 N. 

Hade dimensionerna varit så som facit använder sig av hade plankan varit 7 meter lång och alltså stuckit ut 1.5 meter på vänster sida om den vänstra bocken.

Med en positiv normalkraft som svar fås att plankan inte välter. Återigen antas alltså att jämvikt råder och så länge som $F_N \geq 0$ stämmer detta.

(Under förutsättning att positiv riktning är uppåt så klart).

Ebola skrev:

Hade dimensionerna varit så som facit använder sig av hade plankan varit 7 meter lång och alltså stuckit ut 1.5 meter på vänster sida om den vänstra bocken.

Med en positiv normalkraft som svar fås att plankan inte välter. Återigen antas alltså att jämvikt råder och så länge som $F_N \geq 0$ stämmer detta.

(Under förutsättning att positiv riktning är uppåt så klart).

Som du säger så antar man att jämvikt råder. Hur kan det räknas som bevis om man antar det som man försöker bevisa?

Jag förstod det du skrev förut om "bevis genom motsägelsefullhet". För i det fallet så bevisade man att det ena av två alternativ gällde, genom att bevisa att det andra alternativet var omöjligt. 

Men om man antar att jämvikt gäller, och får fram att F_N = 11 N, så kan man väl inte säga att detta är ett bevis för att jämvikt gäller? Du har ju inte bevisat att det är omöjligt att jämvikt inte gäller.

Stenenbert skrev:

Som du säger så antar man att jämvikt råder. Hur kan det räknas som bevis om man antar det som man försöker bevisa?

Därför att då bevisar du det helt enkelt. Efter att du ritat din figur och ritat in dina krafter är resten matematik och algebra. Fysiken är klar och resten handlar om att bevisa något matematiskt.

Jag förstod det du skrev förut om "bevis genom motsägelsefullhet". För i det fallet så bevisade man att det ena av två alternativ gällde, genom att bevisa att det andra alternativet var omöjligt. 

Absolut. Men, du kan göra det omvända genom att ställa fram påståendet:

Plankan välter genom att rotera runt den högra bocken.

Sedan visar du att så inte är fallet eftersom du får fram en normalkraft vid vänstra stödet som är större än eller lika med noll.

Men om man antar att jämvikt gäller, och får fram att F_N = 11 N, så kan man väl inte säga att detta är ett bevis för att jämvikt gäller?

Jo, man har visat exakt vad som krävs för att jämvikt ska gälla. Detta är att normalkraften vid vänstra bocken är 11 N.

Du har ju inte bevisat att det är omöjligt att jämvikt inte gäller.

Det är omöjligt att jämvikt inte råder om det råder jämvikt. Om du räknat ut de krafter som krävs för att jämvikt ska råda och de är fysikaliskt koherenta har du visat att systemet är i jämvikt. Enda gången du visat på motsatsen är då ditt svar är inkoherent eller alltså att $F_N < 0$. 

Hade situationen istället varit sådan att plankan var fastspikad i bockarna och bockarna satt fast i golvet hade inte en negativ reaktionskraft vid vänstra bocken varit konstigt alls. Då hade uppgiften snarare varit att bestämma reaktionskrafterna och du hade inte funderat mer på det.

Menar du så här?

Plankan välter genom att rotera runt den högra bocken.

Villkoret för detta skulle skrivas M_medurs > M_moturs. 

Sedan visar du att så inte är fallet eftersom du får fram en normalkraft vid vänstra stödet som är större än eller lika med noll.

F_N × 3,0 + 5,0g × 2,5 > 16g × 1,0.

F_N > 11 N

Därför är det omöjligt att plankan välter.

Edit: Förresten, om plankan välter finns det ju öht ingen normalkraft. Så olikheten skulle bara skrivas 5,0g × 2,5 > 16g × 1,0, vilket är falskt. Därför är det omöjligt att plankan välter.

Trots att jag kunde komma fram till slutsatsen ovan genom att använda ett motsägelsebevis, lyckas jag inte komma fram till samma sak genom ett direkt bevis.

När jag försöker göra ett direkt bevis är detta min logik:

Anta att jämvikt gäller ⇒ F_N = 11 N ⇒  Plankan har kontakt med bocken ⇒ Plankan välter ej

Sammanfattningsvis: Om jämvikt gäller, så välter ej plankan.

Detta är enligt mig inget bevis att plankan inte kommer välta. För att det räknas som ett bevis, måste vi vara säkra på att jämvikt gäller. Vi ska inte behöva anta det för att komma fram till rätt slutsats.

Stenenbert skrev:

När jag försöker göra ett direkt bevis är detta min logik:

Anta att jämvikt gäller ⇒ F_N = 11 N ⇒  Plankan har kontakt med bocken ⇒ Plankan välter ej

Sammanfattningsvis: Om jämvikt gäller, så välter ej plankan.

Detta är enligt mig inget bevis att plankan inte kommer välta. För att det räknas som ett bevis, måste vi vara säkra på att jämvikt gäller. Vi ska inte behöva anta det för att komma fram till rätt slutsats.

För att jämvikt ska råda i ett tvådimensionellt system krävs följande:

$\displaystyle \sum F_x = 0$

$\displaystyle \sum F_y= 0$

$\displaystyle \sum M_O = 0$

Detta säger att summan av alla krafter i x- och y-led ska vara lika med noll och summan av alla moment kring en godtycklig punkt var som helst* ska vara lika med noll. Om alla dessa kriterier uppfylls har vi jämvikt. Det är nödvändiga och tillräckliga villkor. De är nödvändiga därför att om de inte uppfylls har vi obalans och de är tillräckliga för att om de uppfylls är jämvikten säkerställd.

Det som händer i många fall är att vi inte behöver ställa upp alla ekvationer. Exempelvis i detta fall har vi inga horisontella krafter och vi behöver därmed inte ställa upp någon summering i x-led, se friläggning av plankan nedan.

Vidare, skulle vi ställa upp en summering i y-led med uppåt som positiv riktning skulle vi få:

$\displaystyle \sum F_y = F_{N1} + F_{N2} - Mg - mg = 0$

Där alltså krafterna $F_{N1}$ och $F_{N2}$ är de okända reaktionskrafterna från bockarna. Vi ser här att vi inte kan bevisa något enbart med jämvikten i y-led eftersom dessa reaktionskrafter är okända. Vi kan då beräkna moment kring vilken punkt som helst (och då menar jag verkligen vilken som helst) men vi väljer förslagsvis någon som eliminerar en okänd kraft. Vi känner nämligen till att om hävarmen för kraftmomentet är noll blir kraftmomentet noll. 

Förslagsvis väljer vi således antingen angreppspunkten för $F_{N1}$ eller $F_{N2}$. Detta är dock inte nödvändigt utan vi kan ta längst till vänster på plankan där vi väljer medurs som positiv riktning:

$\displaystyle \sum M_O = F_{N1} \cdot 0.5 - Mg \cdot 3 + F_{N2} \cdot 3.5 - mg \cdot 6 = 0$

Nu har vi två ekvationer och två okända krafter vilket ger oss två villkor på reaktionskrafterna och vi kan lösa det som ett ekvationssystem. Vi svarar då alltså på frågan:

Hur stora måste reaktionskrafterna vara för att kraft- och momentjämvikt ska råda?

Detta betyder att om bockarna kan anbringa krafterna $F_{N1}$ och $F_{N2}$ i de punkterna angivna i figuren kommer jämvikt vara säkerställd. I problemet vi analyserar här är frågan en annan:

Är momentjämvikt säkerställd?

Här antar vi alltså att reaktionskrafterna från bockarna är tillräckliga i y-led och vi bryr oss enbart om momentjämvikten. Detta betyder att det enda villkor vi behöver titta på är just:

$\displaystyle \sum M_O = 0$

Sammanfattning

Problemet du har är kanske idén om att anta sitt resultat och sedan använda faktumet att man fick det resultatet som bevis för att antagandet stämmer. Ett typiskt "affirming the consequent"-felslut eller om $P \rightarrow Q$ så $Q\rightarrow P$ (om det regnar på en torsdag kommer det regna nästa torsdag).

Detta är inte riktigt vad som försiggår. Det som faktiskt sker är att man tar sitt system och testar det baserat på vissa villkor. Man har konstruerat dessa villkor så att de är tillräckliga för att säga bu eller bä när det gäller jämvikt. Därmed handlar det inte om något antagande egentligen utan det handlar om att man utvärderar systemet baserat på nödvändiga och tillräckliga villkor.

Jag tror jag lyckades förvirra dig mer än nödvändigt under vägs och det måste jag ursäkta.

Tillägg: 12 sep 2021 17:26

Måste påpeka att du kanske strax tänker; "hur kan vi anta att kraftjämvikt råder i y-led?". Jo, det kan vi därför att normalkrafterna från bockarna är reaktioner på yttre belastning och den enda begränsningen skulle vara deras hållfasthet. Det vi antar då är alltså att bockarna är oändligt hållfasta vilket i sammanhanget är ett godtagbart antagande just därför att de säkert är konstruerade för att bära upp mycket mer än något av storleksordningen 21 kg.

Du är bäst! Jag förstår nu. Sicken lättnad!