Kommer dessa summor konvergera mot samma värde?

God kväll!

Jag håller på att analysera summor av olika slag, och jag håller på att analysera tre serier:

$\displaystyle S_{1}=1+1/2+1/4+1/8+1/16+...$

$\displaystyle S_{2}=1+0+1/2+0+1/4+0+1/8+0+1/16+...$

$\displaystyle S_{3}=1+0+0+1/2+0+0+1/4+0+1/8+0+0+1/16+...$

Jag undrar helt enkelt om dessa serier kommer konvergera mot samma sak. Det verkar så, eftersom en nolla inte borde ha någon betydelse, men vill bara bekräfta att det stämmer.

Om du har en följd (x_k) som konvergerar mot x så konvergerar varje delföljd $(x_{k_{j}})$ också mot x.

Delsummorna hos S₂ och S₃ är växande och uppåt begränsade, således konvergerar S₂ och S₃.

Delsummorna hos S₁ återfinns som en delföljd till delsummorna hos S₂ och S₃, således konvergerar de mot samma som S₁.

Hoppas jag tänkt rätt här, annars får jag väl stryk av svenska matematikerförbundet.

Man får vara lite försiktig när man ändrar ordningen av termerna i en oändlig följd.

Varje omordning av en absolut konvergent serie ger en absolut konvergent serie med samma summa som den givna serien.

En betingat konvergent serie kan antingen omordnas så att den konvergerar mot ett valfritt tal eller blir divergent.

Exempelvis är den konvergenta serien $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k}$

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+(-k)^{k-1}\frac{1}{k}+\dots = \ln(2)$

Men om vi kastar om ordningen av termerna i serien får vi till exempel

$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}+\dots=\frac{1}{2}\ln(2)$

Vi har alltså halverat värdet av den oändliga summan genom att ändra ordningsföljd.

Här byter vi inte ordning på termerna utan lägger in nollor. Vi kan nog vara mer generella än vad jag var ursprungligen, rimligen borde inte konvergensen ändras av att lägga in nollor.

Låt oss säga att vi har en konvergent följd (x_n) = (x₁, x₂, x₃,…), vilken konvergerar mot x.

Vi bildar nu följden (y_n) = (x₁, x₁, x₂, x₂, x₃, x₃,…). Då konvergerar (y_n) också mot x.

Att (x_n) konvergerar mot x innebär att vi för varje a > 0 kan hitta ett N sådant att k $\geq$ N implicerar att |x_k - x| < a.

Om vi då väljer N’ = 2N så ser vi direkt att |y_k - x| < a om k $\geq$ N’. Så (y_n) konvergerar mot x.

Detta ger vid handen att om S₁ konvergerar (vilket den gör) så konvergerar S₂ med nödvändighet. Konvergensen av S₃ kan visas på liknande sätt.

Nu tror jag det blev ett missförstånd, den specifika seriens naytte pratar om är absolut konvergent, så ordningen spelar ingen roll för just den serien. Däremot misstänker jag att naytte tänker försöka använda trick av typen 0=1/3-1/3+1/5-1/5... för att täta hålen i sitt rum, givet hans andra tråd (https://www.pluggakuten.se/trad/finns-det-nagra-problem-som-kan-uppsta-om-man-gor-vektorrummet-oandligtdimensionellt/)

Men om du vill ha feedback på ditt första bevis Patenteramera så är meningen "Delsummorna hos S₁ återfinns som en delföljd till delsummorna hos S₂ och S₃, således konvergerar de mot samma som S₁." lite suspekt :)

OK, följden av delsummor till S1 utgör en delföljd till följden av delsummor till S2. Eftersom vi vet att att S2 konvergerar så konvergerar varje delföljd till följden av delsummor till S2 till samma värde som hela serien S2. Således konvergerar S2 till samma värde som S1.

Svara

Visa senaste svar