Kombinatoriskt bevis

Börja med att studera $(1+x)^n$

Dracaena skrev:

Börja med att studera $(1+x)^n$

Ser tyvärr inte hur det hjälper 

Finns säkert flera lösningar men jag ser en tricklösning.

Stora problemet med den här identiteten är att den involverar cosinus vilket är fruktansvärt oestetiskt. De trigonometriska funktionerna har visserligen algebra men den är invecklad och är då nästan alltid en bra idé att blanda in eulers identitet

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

Högerledet i identiteten motsvarar då realdelen av en potens

$2^{n/2} \cos (n\pi/4) = \Re[ (\sqrt{2})^n e^{i n\pi / 4}]$

Att försöka visa att realdelen till 

$(\sqrt{2})^n e^{i n\pi / 4}$ 

är serien i vänsterledet borde vara ganska rakt. Behöver hitta några fler omskrivningar till kvadratisk form och sedan använda binomialsatsen skulle jag tro.

Jag tänkte liknande, men åt andra hållet typ.

Om man expanderar $(1+x)^n$ men binomialsatsen och sedan inför en sub $x=i$.

Dracaena skrev:

Jag tänkte liknande, men åt andra hållet typ.

Om man expanderar $(1+x)^n$ men binomialsatsen och sedan inför en sub $x=i$.

Jaaa, sjukt smart ju!!

Så man ska bara inse att vänsterledet = $re \left({(1+i)}^n\right)$

och sedan använda polära koordinater + de moivres 

Tack så mycket!

Man får ju ett annat samband på köpet om man istället tar imaginärdelen. Borde vara nåt i stil med:

$\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 5\end{array}\right)-...=2^{\frac{n}{2}}\sin \left(\frac{n\mathrm{\pi }}{4}\right)$

henrikus skrev:

Man får ju ett annat samband på köpet om man istället tar imaginärdelen. Borde vara nåt i stil med:

$\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 5\end{array}\right)-...=2^{\frac{n}{2}}\sin \left(\frac{n\mathrm{\pi }}{4}\right)$

Precis, är b) uppgiften (:

Sorry. Jag gick händelserna i förväg ...