8 svar
182 visningar
ItzErre 1575
Postad: 1 jan 2023 10:18

Kombinatoriskt bevis

Hur ska man börja?

Visa attn0-n2+n4-n6.... = 2n2cos (4)Induktion får ej användas

Fermatrix 7841 – Fd. Medlem
Postad: 1 jan 2023 12:18

Börja med att studera (1+x)n(1+x)^n

ItzErre 1575
Postad: 1 jan 2023 22:27
Dracaena skrev:

Börja med att studera (1+x)n(1+x)^n

Ser tyvärr inte hur det hjälper 

SeriousCephalopod 2696
Postad: 1 jan 2023 22:48 Redigerad: 1 jan 2023 22:49

Finns säkert flera lösningar men jag ser en tricklösning.

Stora problemet med den här identiteten är att den involverar cosinus vilket är fruktansvärt oestetiskt. De trigonometriska funktionerna har visserligen algebra men den är invecklad och är då nästan alltid en bra idé att blanda in eulers identitet

eix=cosx+isinxe^{ix} = \cos x + i \sin x

Högerledet i identiteten motsvarar då realdelen av en potens

2n/2cos(nπ/4)=[(2)neinπ/4]2^{n/2} \cos (n\pi/4) = \Re[ (\sqrt{2})^n e^{i n\pi / 4}]

Att försöka visa att realdelen till 

(2)neinπ/4(\sqrt{2})^n e^{i n\pi / 4} 

är serien i vänsterledet borde vara ganska rakt. Behöver hitta några fler omskrivningar till kvadratisk form och sedan använda binomialsatsen skulle jag tro.

Fermatrix 7841 – Fd. Medlem
Postad: 1 jan 2023 22:57 Redigerad: 1 jan 2023 22:57

Jag tänkte liknande, men åt andra hållet typ.

Om man expanderar (1+x)n(1+x)^n men binomialsatsen och sedan inför en sub x=ix=i.

ItzErre 1575
Postad: 1 jan 2023 23:17 Redigerad: 1 jan 2023 23:17
Dracaena skrev:

Jag tänkte liknande, men åt andra hållet typ.

Om man expanderar (1+x)n(1+x)^n men binomialsatsen och sedan inför en sub x=ix=i.

Jaaa, sjukt smart ju!!

Så man ska bara inse att vänsterledet = re ((1+i)n)

och sedan använda polära koordinater + de moivres 

Tack så mycket!

 

Man får ju ett annat samband på köpet om man istället tar imaginärdelen. Borde vara nåt i stil med:

n1-n3+n5-...=2n2sin(nπ4)

ItzErre 1575
Postad: 2 jan 2023 10:25
henrikus skrev:

Man får ju ett annat samband på köpet om man istället tar imaginärdelen. Borde vara nåt i stil med:

n1-n3+n5-...=2n2sin(nπ4)

Precis, är b) uppgiften (:

henrikus Online 655 – Livehjälpare
Postad: 2 jan 2023 11:17 Redigerad: 2 jan 2023 11:35

Sorry. Jag gick händelserna i förväg ...

Svara
Close