Kombinatorisk problemlösning
Hej!
Jag skulle behöva hjälp med följande genomgång. Det är från min matematikbok om kombinatorisk problemlösning. Min lärare sa att vi nog skulle klara av avsnittet utan någon genomgång och eftersom han inte har svarat tänker jag att ni kanske kan hjälpa mig.
Jag behöver hjälp med att förstå det två sista raderna.
Jag förstår att det är "9 över 2" eftersom de två filmerna kan väljas på så många olika sätt.
Sedan tänker jag att det finns tre olika fall för de valda filmerna A och B.
Fall 1: Ser A en gång och B tre gånger
Fall 2: Ser A två gånger och B två gånger
Fall 3: Ser A tre gånger och B en gång
Jag förstår inte hur jag ska komma fram till att det är 9 x 8 och varför det sedan är addition och inte multiplikation till kombinationerna.
Jag har hoppat över vissa delar av genomgången men jag kan lägga upp bilder om det är någon som vill se allt.
Tack på förhand!
Här är det lätt hänt att det blir rörigt med "ordning spelar roll" och "ordning spelar inte roll".
I din lösning har du använt "9 över 2" som ger oss två filmer utan ordning. Vilken är A och vilken är B? Det vet vi inte än. På detta sätt kan man göra 36 urval.
Man skulle också kunna välja först en film man kallar A, och sedan en film man kallar B. På detta sätt kan man göra 72 urval.
Är du med så långt?
Jag tycker att det blir enklast att börja som du har gjort. Då kan man - efter att man valt ut de två filmerna - kalla den ena A och den andra B. Sedan räknar man på de tre fallen du beskriver.
Men facit har tänkt på ett annat sätt:
Om man i stället tänker sig att först välja en film som man ska se tre gånger, och sedan en film man ska se en gång, då blir det ju skillnad på de bägge filmerna och vi hamnar i läget att "ordning spelar roll" (dvs den först utvalda behandlas annorlunda än den sist utvalda). Det blir 72 urval, och det är precis så många gånger man kan se någon film tre gånger och en annan film en gång. Facit skriver 9*8.
Om vi ska välja ut två filmer och i förväg bestämmer oss för att se dem två gånger var, så är det samma sak som att välja ut två filmer (och inte därefter välja någonting alls). Facit skriver "9 över 2"
Med film A och B tänker jag bara att jag ska markera de filmer som ska ses, eftersom det står att de väljer 2 filmer.
Så om man endast väljer 2 filmer utan hänsyn till ordning får man men om man väljer 2 filmer med hänsyn till ordning får man olika sätt/urval?
Så om jag fortsätter med min uträkning hur blir den då?
Jag förstår inte riktigt hur jag ska få ihop de olika fallen.
Bubo skrev:Men facit har tänkt på ett annat sätt:
Om man i stället tänker sig att först välja en film som man ska se tre gånger, och sedan en film man ska se en gång, då blir det ju skillnad på de bägge filmerna och vi hamnar i läget att "ordning spelar roll" (dvs den först utvalda behandlas annorlunda än den sist utvalda). Det blir 72 urval, och det är precis så många gånger man kan se någon film tre gånger och en annan film en gång. Facit skriver 9*8.
Eftersom ordningen spelar roll ska jag räkna med permutationer och enligt formeln för permutationer blir det
Men då har man väl inte räknat med att en film ses tre gånger och den andra ses en gång, eller spelar det ingen roll?
Borde man inte ta multiplicerat med 2 eftersom det finns två olika fall, ser A tre gånger och B en gång, ser A en gång och B tre gånger?
Varför har man valt att räkna med hänsyn till ordning när själva fallet är utan hänsyn till ordning?
Bubo skrev:
Om vi ska välja ut två filmer och i förväg bestämmer oss för att se dem två gånger var, så är det samma sak som att välja ut två filmer (och inte därefter välja någonting alls). Facit skriver "9 över 2"
Varför har man här valt att i förväg bestämma att man ska se filmerna två gånger var och inte det i uträkningen när facit fick fram 9*8, eller är det bara jag som är förvirrad?
Så när man har valt att man ska se två filmer två gånger vardera väljer man 2 av 9 filmer och kan då göra det på
Jag vet att det blev väldigt många frågor, men jag är förvirrad och kombinatorik är verkligen inte min favorit.
linsun06 skrev:Med film A och B tänker jag bara att jag ska markera de filmer som ska ses, eftersom det står att de väljer 2 filmer.
Så om man endast väljer 2 filmer utan hänsyn till ordning får man men om man väljer 2 filmer med hänsyn till ordning får man olika sätt/urval?
Så om jag fortsätter med min uträkning hur blir den då?
Jag förstår inte riktigt hur jag ska få ihop de olika fallen.
Det kommer att ge sig av sig självt, om du bara är med på skillnaden mellan de här två synsätten:
När du väljer "9 över 2" får du två filmer som ett par. Du kan välja ut 36 olika par. Du vet bara att du har fått dessa två filmer, inte att de skiljer sig på något sätt. Du kan inte ge dem olika namn, för då skapar du en skillnad mellan dem. Du skulle kunna ta en i höger hand och den andra i vänster hand, men du skulle lika gärna kunna ta den första i vänster hand och den andra i höger hand. Att välja hand är ett val du har kvar att göra.
Du kan välja ut 36 par. Sedan kan du i varje par "välja hand" på två sätt. Det blir 36*2=72 sätt att hålla en film i varje hand.
När du väljer först en film som A och sedan en film som B, är det inte ett par, utan två individer. Det finns 9*8=72 sätt att välja individer. När du vill hålla film A i vänster hand och film B i höger hand finns det 1*72=72 sätt att hålla en film i varje hand.
linsun06 skrev:Bubo skrev:Men facit har tänkt på ett annat sätt:
Om man i stället tänker sig att först välja en film som man ska se tre gånger, och sedan en film man ska se en gång, då blir det ju skillnad på de bägge filmerna och vi hamnar i läget att "ordning spelar roll" (dvs den först utvalda behandlas annorlunda än den sist utvalda). Det blir 72 urval, och det är precis så många gånger man kan se någon film tre gånger och en annan film en gång. Facit skriver 9*8.
Eftersom ordningen spelar roll ska jag räkna med permutationer och enligt formeln för permutationer blir det
Men då har man väl inte räknat med att en film ses tre gånger och den andra ses en gång, eller spelar det ingen roll?
Man har räknat alla sätt att sätta etikett "A" på en film och etikett "B" p¨å en annan film.
Borde man inte ta multiplicerat med 2 eftersom det finns två olika fall, ser A tre gånger och B en gång, ser A en gång och B tre gånger?
Det du kallar "olika fall" här är olika sätt att placera etiketterna, och det har vi nyss tagit hand om. Tänk gärna på riktiga etiketter, riktiga klisterlappar på filmaskar.
Varför har man valt att räkna med hänsyn till ordning när själva fallet är utan hänsyn till ordning?
Det beror på hur man tänker. Jag försöker redogöra för två olika tankesätt.
linsun06 skrev:Jag vet att det blev väldigt många frågor, men jag är förvirrad och kombinatorik är verkligen inte min favorit.
Det är lätt att bli förvirrad, väldigt lätt.
Om du har möjlighet att hålla i något fysiskt, något verkligt föremål, så blir det nog lättare. Jag brukar ofta tänka på tärningar i olika färger, på bokstäver i olika typsnitt, på filmaskar med eller utan etikett osv.
Tack så mycket för hjälpen!
Jag har funderat och kommit fram till två olika förklaringar som jag förstår mig på.
Som en sista fråga: vill någon se om mitt resonemang nedan stämmer och om jag äntligen har förstått det här?
Tack för all hjälp!
Skulle någon (i verkligheten, inte i ett matteproblem) kunna tänka sig att se samma film flera gånger samma kväll? Jag skulle det inte, men jag är ingen filmnörd.
Ja, exemplet är lite konstigt. Men stämmer mitt resonemang?
