12 svar

141 visningar

Solipsism behöver inte mer hjälp

Kombinatorisk identitet till summa

Jag har fastnat på ett problem som lyder som följande

Anta att $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\alpha\choose n} x^n$ konvergerar för |x|<1

Visa att $(1+x)f'(x)=\alpha f(x)$

Mitt försök:

$(1+x)f'(x)= (1+x) \sum_{n=1}^{\infty} n{\alpha \choose n}x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} [n{\alpha \choose n}+(n+1){\alpha \choose {n+1}} ]x^n$

Här tänker jag att jag ska visa att $n{\alpha \choose n}+(n+1){\alpha \choose {n+1}}=\alpha{\alpha \choose {n+1}}$

så börjar jag med vänster ledet så har vi att

$VL=n\left({\alpha \choose n}+{\alpha \choose {n+1}}\right)+{\alpha \choose {n+1}} = n{{\alpha+1} \choose {n+1}}+{\alpha \choose {n+1}}=\frac{ (n(\alpha+1)+1)\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+2)}{(n+1)!}$

Men jag fastnar på det sista uttrycket och har ingen aning om hur jag ska fortsätta, någon idé eller hint skulle uppskattas.

PS. Kan någon också förklara hur man använder begin{align} här på pluggakuten

Du är på rätt spår, men har tänkt lite fel. Du vill väl snarare visa att:

$n\begin{pmatrix}\alpha\\n\end{pmatrix}+\left(n+1\right)\begin{pmatrix}\alpha\\n+1\end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix}\alpha\\n\end{pmatrix}$

(Notera att jag inte har något $n+1$ i högerledets binomialkoefficient)

eftersom påståendet då följer ganska rakt av. Jag skulle använda mig av fakultetsdefinitionen för en binomialkoefficient, vilket ger:

$\text{VL}=\dfrac{\alpha!}{(n+1)!(\alpha-n-1)!}\cdot\left(n+1\right)+\dfrac{\alpha!}{n!(\alpha-n)!}\cdot n=$

$=\dfrac{\alpha!\cancel{(n+1)}}{n!\cancel{(n+1)}\left(\alpha-n-1\right)!}+\dfrac{\alpha!\cdot n}{n!(\alpha-n)!}=$

Nu skulle vi vilja ha en gemensam nämnare på bråken. Detta kan vi göra genom att förlänga det vänstra bråket med $(\alpha-n)$ :

$=\dfrac{\alpha!}{n!(\alpha-n-1)!}\cdot\dfrac{(\alpha-n)}{(\alpha-n)}+\dfrac{\alpha!\cdot n}{n!(\alpha-n)!}=$

$=\dfrac{\alpha!(\alpha-n)}{n!(\alpha-n)!}+\dfrac{\alpha!\cdot n}{n!(\alpha-n)!}$

Nu är det inte så långt kvar till att visa att detta är lika med det vi önskar. Ser du hur du skall göra?

Hej!

Ja slarvfel på mitt håll, det stämmer att det ska vara n och inte n+1

Ja jag ser :

$\frac{\alpha!(\alpha-n)}{n!(\alpha-n)!}+\frac{\alpha !\cdot n}{n!(\alpha-n)!}=\frac{\alpha!((\alpha-n)+n)}{n!(\alpha-n)!} =\alpha{\alpha \choose n}$

Tack så mycket!

Har du något tips till den andra frågan om att använda "align" här på pluggakuten?

\align funkar inte här på PA. Pluggakuten har egentligen inte riktig Latex, utan en konverterare används för att efterlikna vanlig Latex. Dessvärre är inte alla kommandon implementerade, och \align är ett av dessa.

Det går alltså inte att använda &-tecken för att få justera sina uttryck, utan man får antingen använda mellanslag för att manuellt justera koden eller bara leva med att allt blir vänsterjusterat.

Hej!

Vad händer med symbolen $\binom{\alpha}{n}$ när $n > \alpha$ ? Hur tolkas exempelvis symbolen $(-1)!$ som förekommer vid $\binom{\alpha}{\alpha+1}$ ?

Om det underförstått gäller att $0\leq n \leq \alpha$ så är serien

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n$

konvergent för alla reella $x$ eller hur?

Hej Albiki

När $\alpha<n$ och $\alpha$ inte är ett heltal så är ${\alpha \choose n}$ aldrig noll och alternerar tecken för varje term. I heltasfallet så är koefficienten noll för $\alpha<n$

Ja det stämmer mycket bra det sista du skriver. För att förtydliga så är detta problem om den Binomiala serien (engelska)

Det vill säga det generella problemet handlar om konvergensen av taylor serien (runt 0) för $(1+x)^{\alpha}$ för alla $\alpha$ och inte bara heltal.

Anledningen till $|x|<1$ kommer från restformerna till taylor expansionen som ges utav

Cauchy : $R_{n}(x)=(n+1){\alpha \choose {n+1}}x(1+t)^{\alpha-1}\left(\frac{x-t}{1+t}\right)^n$

Lagrange: $R_{n}(x)={\alpha \choose{n+1}}x^{n+1}(1+t)^{\alpha-n-1}$

Där $t \in [x,0]$ eller $t \in [0,x]$ i båda restformlerna

Om $\alpha$ inte är ett heltal så är $\binom{\alpha}{n}$ inte definierad som en kvot av fakulteter, och då är beräkningarna som AlvinB gjort tidigare i tråden meningslösa?

Okej jag förstår, men då antar jag också att mitt användande av identiteten ${\alpha \choose n}+{\alpha \choose {n+1}}={{\alpha+1} \choose {n+1}}$ också är felaktigt?

Med lite om och men så har jag nu fått fram svaret som gäller för den andra formen av binomial koefficienten .

Deriveringen är som följande:

$n{\alpha \choose n}+(n+1){\alpha \choose {n+1}}=\frac{n\cdot \alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}+\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n)}{n!}=$

$=\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)(n+(\alpha-n))}{n!}=\alpha\frac{\alpha(\alpha-1)\dots...(\alpha-n+1)}{n!}$

$=\alpha{\alpha \choose n}$

Notationen

$\begin{pmatrix}\alpha\\n\end{pmatrix}$

tycker jag enbart bör åsyfta 'vanliga' binomialkoefficienter där $\alpha$ och $n$ är heltal. Om det som menas är Newtons generaliserade binomialkoefficienter tycker jag att det bör specificeras.

Jag antog att $\alpha$ var ett heltal för att inte fastna i diskussioner om vilken typ av tal $\alpha$ var, men vi kanske borde klargjort detta från början. Ett tips till TS nästa gång är att ge all information du har om uppgiften, annars kan det leda till att vi som svarar gör antaganden som inte stämmer överens med uppgiften!

Hej AlvinB!

Jag ber om ursäkt och jag skulle varit tydligare i min representation av frågan och ska göra det i framtiden.

Svara

Visa senaste svar