Kombinatorik (x uppmäta medeltemperaturer under y dagar)

Uppgift:

Under perioden 12−31 juli i år (20 dagar) uppmättes varje dygn i Göteborg en medeltemperatur,
avrundad till närmaste heltal, mellan 18 − 24 grader (7 möjliga värden per dygn
alltså)1. Hur många möjligheter finns det för

a) den oordnade temperaturserien, där vi bara bryr oss om antalet gånger varje värde
uppmättes och inte exakt vilka dagar?

b) den fullständiga serien om vi vet att de enda uppmätta värdena var 19, 20 och 23
grader, och att dessa uppmättes 5, 6 resp. 9 gånger?

Källa:
http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tmv210/1718/tenta310818_losningar.pdf

Min tankegång (a):

Så i detta fall spelar ordningen ingen roll eftersom att dagen då jag mätte gradtalet x inte påverkar antalet ggr gradtalet x uppmättes. Om jag räknar $7^{20}$ så tar jag väl hänsyn till ordningen och det vill jag ju inte så jag antar att jag måste "ta bort" denna faktor på något sätt. Någon som kan hjälpa mig?

Min tankegång (uppgift b):

Jag tycker det är enklare att tänka att 19, 20 och 23 är bokstäverna A, B och C. och det finns

5 stycken A,
6 stycken B och
9 stycken C
Jag skall nu beräkna antalet “ord” som kan göras av dessa 3 olika bokstäver.
Min tankegång är att jag dividerar det totala antalet permutationer (20!) med de enskilda permutationerna av vardera bokstav (5!, 6! Och 9!) för att få bort alla ord som är likadana?
20! (fakultet) innebär väl att jag kommer ha en andel med likadana “ord” så därför måste jag ta bort den andelen från de totala antalet permutationer? Dvs
20! / (5!*6!*9!) ?

I facit står det $(\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 15 \\ 6 \end{matrix})$ , men det blir ju samma svar. Antingen har jag “tur” eller så är det ett annat sätt att lösa uppgiften på. Någon som kan förklara?

Uppgift a borde vara exakt samma uppgift som om man har 20 bullar som skall dekoreras på sju olika sätt - hur många olika sätt kan detta göras på?

uppgift a) Är samma sak som antalet heltalslösningar till:

$x_{18} + x_{19} + x_{20} + x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{24} = 20$

för $x_{j}$ $\geq$ 0 där varje term betecknar antalet gånger temperaturen $j$ uppmättes.

Detta kan beräknas med $(\begin{matrix} 20 + 7 - 1 \\ 20 \end{matrix})$ eller med stars and bars principen.

uppgift b) Din lösning är rätt. Jag vet inte hur facit har resonerat

Facits lösing lyder:

Det finns 20 dagar och temperaturen 19 (eller A) uppmättes 5 gånger och kan placeras ut på dagarna på $(\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix})$ olika sätt.

För varje sådant sätt kan temperaturen 20 (eller B) som uppmättes 6 gånger placeras ut på de resterande 15 dagarna på $(\begin{matrix} 15 \\ 6 \end{matrix})$

Sedan kan temperaturen 23 (eller C) som uppmättes 9 gånger placeras ut på de 9 dagarna på $(\begin{matrix} 9 \\ 9 \end{matrix}) = 1$

Multiplikationsprincipen ger:

$(\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 15 \\ 6 \end{matrix}) \times 1$

kokakakor skrev:
uppgift a) Är samma sak som antalet heltalslösningar till:

$x_{18} + x_{19} + x_{20} + x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{24} = 20$
för $x_{j}$ $\geq$ 0 där varje term betecknar antalet gånger temperaturen $j$ uppmättes.
Detta kan beräknas med $(\begin{matrix} 20 + 7 - 1 \\ 20 \end{matrix})$ eller med stars and bars principen.
uppgift b) Din lösning är rätt. Jag vet inte hur facit har resonerat

Den formeln känner jag igen, men visste inte att den heter stars and bars principen. Dock så visar facit
$(\begin{matrix} 20 & + & 7 & - & 1 \\ 7 & - & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 26 \\ 6 \end{matrix})$ men om jag inte är ute och snurrar så blir det precis samma svar som du har kommit fram till eftersom $(\begin{matrix} 26 \\ 6 \end{matrix}) = \frac{26!}{6! (26 - 6)!} = (\begin{matrix} 26 \\ 20 \end{matrix}) = \frac{26!}{20! (26 - 20)!}$ . Rätta mig gärna om jag har fel :)

Svara

Visa senaste svar