Kombinatorik: välja lag.

Hej,

Kan ni vänligen rätta mig?

Jag har 7 djur (säg en svan, en sothöna, en häst, en varg, ett lejon, en apa och en åsna). Jag ska dela upp djuren i två lag: lag ett som består av tre djur och ett lag två som består också av 3 djur. På hur många sätt kan de två lagen formas om sothönan vägrar sitta i samma grupp som svanen?

Jag tänker så här:

Lag ett kan formas på $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ sätt.

Visa spoiler

{svanen,sothönan,hästen} {svanen,sothönan,vargen} {svanen,sothönan,lejonet} {svanen,sothönan,apan} {svanen,sothönan,åsnan} {svanen,hästen,vargen} {svanen,hästen,lejonet} {svanen,hästen,apan} {svanen,hästen,åsnan} {svanen,vargen,lejonet} {svanen,vargen,apan} {svanen,vargen,åsnan} {svanen,lejonet,apan} {svanen,lejonet,åsnan} {svanen,apan,åsnan} {sothönan,hästen,vargen} {sothönan,hästen,lejonet} {sothönan,hästen,apan} {sothönan,hästen,åsnan} {sothönan,vargen,lejonet} {sothönan,vargen,apan} {sothönan,vargen,åsnan} {sothönan,lejonet,apan} {sothönan,lejonet,åsnan} {sothönan,apan,åsnan} {hästen,vargen,lejonet} {hästen,vargen,apan} {hästen,vargen,åsnan} {hästen,lejonet,apan} {hästen,lejonet,åsnan} {hästen,apan,åsnan} {vargen,lejonet,apan} {vargen,lejonet,åsnan} {vargen,apan,åsnan} {lejonet,apan,åsnan}

Steg 2. Antal sätt att bilda ett lag som består av tre djur där sothönan inte är i samma grupp som svanen.

$(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ - $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})$ = 30.

Steg 3. (Här börjar jag bli osäker om jag får använda samma metod som innan)

Antal sätt att bilda lag två:

$(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ sätt. Antal sätt att bilda lag 2 där sothönan och svanen inte är i samma lag: $(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ .

Svar: 30 * 8.

Känns väldigt fel faktiskt! Jag kan dock inte klura ut varför.

Vi kan ju vända på steken och istället fråga oss hur många laguppställningar vi kan bilda om vi inte bryr oss om vad sothönan tycker.

Det vi då skall göra är att placera djuren i tre grupper: åskådare, lag ett och lag två.

Detta borde man kunna göra på

$(\begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix}) * (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) * (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) = 7 * \frac{6 * 5 * 4}{3 * 2 * 1} * 1 = 7 * 5 * 4 = 7 * 20 = 140$

sätt. 140 sätt totalt sett. Och du kom fram till att det skulle gå på 30*8 = 240 sätt. Då 240 > 140 håller jag med om att det känns väldigt fel.

I steg 3 räknar du ut $(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{4!}{3! * 1!} = \frac{4 * 3 * 2 * 1}{3 * 2 * 1 * 1} = 4$ som du sedan subtraherar med ett annat tal och på någon vänster lyckas du få fram talet 8(som är större än 4). Jag antar att du råkade multiplicera.

Om vi utgår från att det fanns 140 lagkombinationer totalt sett så är ju följdfrågan hur många av dessa som de två fåglarna är i samma lag i. Och för att underlätta min tankegång säger vi att vi först utser lagens medlemmar; uträkningen ovan blir ändå precis densamma.

$(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) * (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) * (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{7 * 6 * 5}{3 * 2 * 1} * \frac{4 * 3 * 2 * 1}{3 * 2 * 1} * 1 = \frac{7 * 6 * 5}{3 * 2 * 1} * \frac{4 * 3 * 2 * 1}{3 * 2 * 1} * 1 = 7 * 5 * 4 = 7 * 20 = 140$

Om båda är i lag 1 är uträkningen i stället:

$(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) * (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) * (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = 5 * \frac{4 * 3 * 2 * 1}{3 * 2 * 1} * 1 = 5 * \frac{4 * 3 * 2 * 1}{3 * 2 * 1} * 1 = 5 * 4 = 20$

Om båda är i lag 2 är uträkningen istället:

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) * (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) * (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{5 * 4}{2 * 1} * 2 * 1 = 20$

Så lösningen borde bli 140-20-20= 100. Förutsatt att vilka som är specifikt i Lag 1 och Lag 2 spelar roll; om {[svan, sothöna, häst], [varg, lejon, apa], [åsna]} är samma lösning som {[varg, lejon, apa], [svan, sothöna, häst], [åsna]} blir uträkningen annorlunda.

Wow! Tack ska du ha för ditt svar. Nu är jag med noterna!

Redigerat inlägget! Frågan är längre inte aktuell.

Svara

Visa senaste svar