Kombinatorik - skillnaden mellan två grundläggande problem

Hej,

Jag kan inte riktigt förstå vad skillnaden är mellan två kombinatoriska problem. De är i princip samma i mina ögon.

Kan någon vänligen förklara vad skillnaden är?

Fråga 1.

I en låda finns det 10 defekta och 90 korrekta produkter. Vi väljer 5 produkter på måfå ( utan hänsyn till ordning).

På hur många sätt kan vi välja ( utan hänsyn till ordning) 5 produkter bland 100?

Svar: $(\begin{matrix} 100 \\ 5 \end{matrix})$ . Här använder man binomialtalet $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ .

Fråga 2.

I en påse finns det 10 blå, 10 rosa och 10 vita kulor. Vi ska plocka ut 5 kulor och lägga i en annan påse. Hur många olika val finns det?

Svar: $(\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix})$ . Här använder man multinomialsatsen $(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})$ .

Tack.

Skillnaden är huruvida upprepningar är tillåtet eller inte. I första fallet verkar det underförstått att alla 100 produkter är unika, så när vi har plockat produkt nr 1 kommer vi inte kunna ta upp samma produkt en gång till. Men kulor av samma färg är inte unika, så vi kan dra t.ex. "blå kula" mer än en gång.

Ett annat exempel: Säg att vi har tre saker A, B och C och ska slumpmässigt välja två av dom utan hänsyn till ordningen. Om vi inte låter samma sak dras två gånger finns det tre sätt: (A, B), (A, C) eller (B, C). Detta ges av $3 \choose 2$ . Om vi istället tillåter upprepning finns ytterligare tre fall: (A, A), (B, B) och (C, C). Totalt sex utfall alltså, vilket ges av ${3+2-1} \choose 2$ .

Hej Skaft,

Tack för ditt svar.

Angående fråga två: varför är kulorna och färg inte unika i det här fallet? Låt oss säga att vi har mängden Påse innehållande kulor som består av följande element:

$P å s e i n n e h å l l a n d e k u l o r = \{B l å_{1}, B l å_{2}, . . ., B l å_{10}, R o s a_{1}, R o s a_{2}, R o s a_{3}, . . ., R o s a_{10}, V i t_{1}, V i t_{2}, . . ., V i t_{10}\}$

Jag kan plocka ut $B l å_{10}$ en gång ur påsen. Om jag tar med i mina beräkningar att jag har plockat ut kula $B l å_{10}$ mer än en gång, då borde jag få ett felaktigt svar eftersom jag tar hänsyn till olika "val" som inte kan inträffa.

Skaft skrev:
Skillnaden är huruvida upprepningar är tillåtet eller inte. I första fallet verkar det underförstått att alla 100 produkter är unika, så när vi har plockat produkt nr 1 kommer vi inte kunna ta upp samma produkt en gång till. Men kulor av samma färg är inte unika, så vi kan dra t.ex. "blå kula" mer än en gång.
Ett annat exempel: Säg att vi har tre saker A, B och C och ska slumpmässigt välja två av dom utan hänsyn till ordningen. Om vi inte låter samma sak dras två gånger finns det tre sätt: (A, B), (A, C) eller (B, C). Detta ges av $3 \choose 2$ . Om vi istället tillåter upprepning finns ytterligare tre fall: (A, A), (B, B) och (C, C). Totalt sex utfall alltså, vilket ges av ${3+2-1} \choose 2$ .

Här håller jag med dig totalt. Kan det vara att det är skillnaden mellan att välja och plocka som ställer till det för mig?

Vänligen

Mjo, kulorna är ju olika "individer", men de representerar samma sak (om de är av samma färg). Om du plockar 2 blå och lägger i den andra påsen, spelar det ju ingen större roll om det var "blå 1 och 5" eller "blå 6 och 8". Det finns ingen info i uppgiften som säger kulorna går att urskilja, så det är bara "två blå". Det jag menar med att upprepning är tillåten är att färgen blå (eller någon av de andra) kan dras flera gånger.

Svara

Visa senaste svar