Kombinatorik/sannolikhet
Hej! Jag behöver hjälp med att förstå skillnaden på nedanstående lösningar till följande problem:
"You are dealt a poker hand. What is the probability of getting one pair?"
Jag löser uppgiften på följande sett:
Detta är fel enligt facit. Jag förstår lösningen som facit ger, nämligen att det snarare gäller att
.
Skillnaden är alltså att man i svaret till facit väljer att "ta ut tre valörer från 12" på en gång, istället för att som jag gör räkna på det i flera steg (hoppas ni förstår vad jag menar). Det känns dock intuitivt som att både mitt och facits svar borde vara korrekta. Uppenbarligen är de ju inte det. Så jag undrar varför mitt svar blir fel? Är det någon som kan förklara skillnaden mellan de två svaren på ett pedagogiskt sätt? Det bör tilläggas att jag är helt ny på detta med kombinatorik.
Mvh!
Hur beskriver du processen som resulterar i din produkt?
Huruvia det du gör är rimligt eller ej beror på hur du själv tänkt dig att det motsvarande praktiska steget (valet) skulle utförs. För att göra det måste du dock beskriva de föregående stegen också
Hej!
Talet i nämnaren är klar. För täljaren så tänkte jag såhär: Välj en valör av 13. Välj sedan 2 färger av 4. (Detta svara alltså mot paret). Tag sedan en ny valör (av 12 denna gång) och välj en färg av 4. Upprepa sedan detta (för 11 , 10 valörer) tills vi får tre kort av tre olika valörer. Produkten blir alltså allt detta.
I din lösning spelar det roll i vilken ordning du väljer de tre korten som inte ingår i paret. För att eliminera det måste du dela med antal permutationer, dvs 6 st. Facits lösning, 12 över 3 blir 12*11*10/(1*2*3)
Om de tre är E,K,D så kan du kombinera detta på 6 olika sätt (prova!)
Hej! Okey. Jag förstår inte helt ändå. Kan du utveckla vad du menar? På vilket sätt svarar produkten att jag tar korten i ordning?
Det är lurigt men det finns som Ture lyfter en implicit ordning i hur du väljer dina sista tre kort. Egentligen skulle jag dock tillägga att det snarare finns en oordning hur du väljer dessa medan facits lösning tar hänsyn till ordning.
Det du gjorde var en dubbelräkning, men låt mig skriva lite om hur man kan undvika det.
Ett sätt att komma undan denna typ av problem är att man lyfter en idén från mängdläran och logiken, nämligen ekvivalensklasser och representanter för ekvivalensklasser. Totallt finns ju sekvenser av 5 kort men många sekvenser kort är ju ekvivalenta och representerar samma hand, men varje hand kan ju representeras av en verklig sekvens kort, och vad man gör är tydliggör regler för hur en sådan representativ sekvens ska se ut.
Ett sätt är att säga att en representant av en hand alltid ska ha paret längst till vänster och att de övriga tre korten är sorterade efter valör. Sedan utgörs problemet av att räkna representanter för händer. Detta är effektivt vad såväl du som facit gör iochmed att ni väljer paret först och därefter de andra tre korten. Det finns alltid ordning inopererat i multiplikationsprincipen även om man använder kombinationer som faktorer.
Om vi har denna representantsidé så är det klart att valen av de tre sista kortens valörer inte är oberoende av varandra utan att antalet sätt att välja ett kort blir beroende av det tidigare valet.
Tur är dock att precis representerar antalet sätt att välja tre valörer och förekommandes i sorterad ordning. Detta känns kontraintuitivt iochmed att representerar "antalet sätt att välja 3 av 13 utan hänsyn till ordning" men hela poängen är att om hänsyn inte tas till ordning så kan man anta att de är sorterade.
I din lösning så har du kunnat räkna med båda sekvenserna i bilden och därmed utfört "dubbelräkning" av vissa händer.
EDIT: Flera slarvfel exempelvis 13 istället för 12.
Tack så mycket för era svar! Jag får fundera lite mer på detta känner jag.
