Kombinatorik på hamburgerrestaurang
Sitter med den här frågan:
En hamburgerrestaurang annonserar "Vi kan fixa hamburgare på 256 olika sätt". De erbjuder en valfri kombination av åtta olika tillbehör, [....]. Man kan också få sin hamburgare utan något tillbehör. Stämmer reklamen?
Jag har fått rätt svar genom att beräkna kombinationerna för varje möjligt antal tillbehör, alltså:
Undrar nu om det finns något "smidigare" sätt att göra det på? Kändes inte helt 100 att sitta och knappa in allt detta på räknaren, framförallt inte om det hade varit i en provsituation... Någon som vet ett bättre sätt som funkar rent generellt på liknande uppgifter?
Tillbehör 1 kan väljas på två olika sätt: Med eller inte med.
Tillbehör 2 kan väljas på två olika sätt: Med eller inte med.
På samma sätt för alla tillbehör.
Om man har n olika tillbehör så fås alltså kombinationer. I ditt fall har du 8 olika tillbehör och får då = 256 kombinationer.
Ja, det var ju himla smart! Kände att mitt sätt var aningen långsökt. Tack för hjälpen!
Om du hade inkluderat termen $${n \choose 0}$$ (som motsvarar en hamburgare utan några tillhör alls) och utfört alla de bökiga beräkningarna hade ni båda dock fått samma resultat i slutändan.
* * *
Notera övrigt att man, genom att kombinera resonemangen i båda era svar, kan bevisa att likheten
$$\displaystyle{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n$$
gäller generellt för alla naturliga tal $$n$$.
Tyckte detta var ett riktigt mind-blowing resultat när jag såg det för första gången! :D Kan man inte kombinatorik är det verkligen inte alls uppenbart att binominalkoeffienterna skulle ha någon koppling till en potens med basen 2.
