Kombinatorik - Ordskapande

Uppgiften jag har lyder:

"Hur många ''ord'' om 2 bokstäver kan man bilda av bokstäverna i ordet ALGEBRA? De sju bokstäverna i ordet får användas högst en gång styck."

Den sista meningen är jag inte helt hundra på hur jag ska tolka den men jag uppfattar det som att det inte får finnas några dubbletter i orden man skapar t.ex. "AA" ,"LL", "GG" osv.

Jag lär mig fortfarande det har så jag är inte helt hundra på hur detta ska göras men lösningen jag tänker mig går ut på att man räknar ut $(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})$ (= 21) för att få ut antalet kombinationer av bokstäver utan dubletter och sedan multiplicerar detta med 2 för att varje "ord" av det antalet i $(\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix})$ kan vara vänd åt andra hållet/byter ordning (t.ex. "AB" != "BA"). 21*2=42 är tydligen inte rätt svar.

Jag vet inte om jag förklarat mitt tankesätt på ett vettigt sätt men förhoppningsvis förstår ni. Har jag tänkt delvis rätt eller är jag helt ute och cycklar?

Det är okej att ha AA eftersom det finns två stycken A:n, men det är inte okej att ha LL eftersom det bara finns ett L. Du har två fall nu:

Ordet innehåller som mest 1 A
Ordet innehåller två A:n

För fall 1 så ska du alltså välja ut två bokstäver från bokstäverna ALGEBR, den första kan du välja på 6 sätt och den andra på 5 sätt. Alltså 6*5 sätt.

I fall 2 så finns det bara ett ord, nämligen AA.

Så totalt 6*5 + 1 = 31 stycken ord.

Stokastisk skrev :
Det är okej att ha AA eftersom det finns två stycken A:n, men det är inte okej att ha LL eftersom det bara finns ett L. Du har två fall nu:
Ordet innehåller som mest 1 A
Ordet innehåller två A:n
För fall 1 så ska du alltså välja ut två bokstäver från bokstäverna ALGEBR, den första kan du välja på 6 sätt och den andra på 5 sätt. Alltså 6*5 sätt.
I fall 2 så finns det bara ett ord, nämligen AA.
Så totalt 6*5 + 1 = 31 stycken ord.

Aha! Jag fattar nu var jag tänkte fel.

En fråga bara: 6*5 är lika med 30. 30 = $(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) * 2$ . Detta verkar stämma med vilka heltal som helst (om nu 6 och 5 var x och y). Finns det något samband här eller är det ren slump?

Antalet sätt vi kan välja ut k stycken element från n stycken element, om vi tar hänsyn till ordningen är $\frac{n!}{(n - k)!}$ . Antalet sätt vi kan välja ut dem på om vi inte tar hänsyn till ordningen är $\frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Så om k = 2 så har du alltså att utan hänsyn till ordningen så är det

$\frac{n!}{2 \cdot (n - 2)!}$

med hänsyn till ordningen

$\frac{n!}{(n - 2)!}$

Så nej, det är ingen slump att du får det där sambandet.

Stokastisk skrev :
Antalet sätt vi kan välja ut k stycken element från n stycken element, om vi tar hänsyn till ordningen är $\frac{n!}{(n - k)!}$ . Antalet sätt vi kan välja ut dem på om vi inte tar hänsyn till ordningen är $\frac{n!}{k! (n - k)!}$ .
Så om k = 2 så har du alltså att utan hänsyn till ordningen så är det
$\frac{n!}{2 \cdot (n - 2)!}$
med hänsyn till ordningen
$\frac{n!}{(n - 2)!}$
Så nej, det är ingen slump att du får det där sambandet.

Aha. Det var ju ganska självklart egentligen. Känner mig dum nu för att jag inte klurade ut detta själv haha.

Svara

Visa senaste svar