kombinatorik och sannolikhetslära

Varifrån kommer 5^15?

Jag tänkte vi har 5 burar och vi har sammanlagt 15 möss, så vi kan välja 5 möss bland 15 möss på 3003 sätt. 

P(minst en svart) = 1 - P(alla vita) är en bra början.

Nästa steg är alltså att beräkna P(alla vita).

För att det ska bli "alla vita" måste du ta en vit mus ur var och en av de fem burarna.

Vad är sannolikheten att ta en vit mus ur första buren? Ur andra? Tredje? Fjärde? Femte?

Kommer du vidare på det sättet?

Sannolikheten att ta en vit mus är 2/3 och det är samma i andra buren, alltså det blir (2/3)⁵ . Men varför blir det fel att tänka som jag skrev i början av mitt inlägg. Alltså vi tar 5 vita från 10 vita och det är vårt gynnsamma utfall. Sedan räknar vi mögliga utfall som 5 över 15 ?

Eftersom mössen är uppdelade i 5 olika burar blir det en helt annan situation än om de hade funnitsi en enda bur, som jag tror att du har räknat med.

(Om man istället hade sorterat mössen så att man hade haft en bur med bara svarta möss i, hade sannolikheten att bara fått vita möss om man tog en ur varje bur varit 0. Om man hade haft bara vita möss i en bur, hade chansen att få bara svarta möss vsrit 0 om man tog en från varje bur.)

petti skrev:

Sannolikheten att ta en vit mus är 2/3 och det är samma i andra buren, alltså det blir (2/3)⁵ . Men varför blir det fel att tänka som jag skrev i början av mitt inlägg. Alltså vi tar 5 vita från 10 vita och det är vårt gynnsamma utfall. Sedan räknar vi mögliga utfall som 5 över 15 ?

Du gör fel på två sätt!

Det minst viktiga felet är att $5^{15}$ inte blir 3003! $5^{15}=30517578125$Du menar nog $\left(\begin{array}{c}5\\ 15\end{array}\right)$

Men viktigare är att antalet möjliga utfall inte är $\left(\begin{array}{c}5\\ 15\end{array}\right)$. Det hade varit rätt om alla mössen hade varit i samma bur och man skulle ta ut 5. Men så är det inte. Du får bara ta en mus från varje bur. Om mössen i bur 1 heter A, B och C får du inte ta både A och B. Det hade du kunnat göra om alla var i samma bur. Därför får du mycket färre möjliga utfall. Du har 3 olika möjligheter i den första buren, 3 i den andra och så vidare...

EDIT: Jag ändrar inte i inlägget ovan men vill bara säga att jag skrev fel, det ska naturligtvis vara $\left(\begin{array}{c}15\\ 5\end{array}\right)$, jag vände på talen av någon anledning...

Smaragdalena så du menar att om jag räknar  "15 över 5" så blir det som att jag räknar med 5 möss från

en bur som innehåller 15 möss? 

SvanteR jag menade 15 över 5 . Ok , så för att vi har 5 bur då måste man ta hänsyn till varje bur och räkna kombinationen av varje bur separat. 😊

petti skrev:

Smaragdalena så du menar att om jag räknar  "15 över 5" så blir det som att jag räknar med 5 möss från

en bur som innehåller 15 möss? 

Ja.

petti skrev:

SvanteR jag menade 15 över 5 . Ok , så för att vi har 5 bur då måste man ta hänsyn till varje bur och räkna kombinationen av varje bur separat. 😊

Ja, precis!

Dessutom skrev jag fel, jag skrev 5 över 15 i stället för 15 över 5, men jag har lagt till en kommentar om det i inlägget nu...

Enormt tack!!

Eftersom man (eller åtminstone jag) tycker att det känns naturligt att säga "fem av femton" så känns "femton över fem" lite bakvänt.