Kombinatorik med upprepning

Vi har totalt 15 kakor och det finns 5 olika sorter av kakor: chokladkaka, kokoskaka, morotskaka, sockerkaka och banankaka. Det finns 3st av varje sort

Henrik går och handlar 3 kakor. Hur många sätt kan han köpa kakor? (Här gäller permutation t.ex banan - choklad - banan är inte samma som choklad - banan - banan)

Alltså först tänkte jag att bara använda formel P(15,3) men då insåg jag att jag har räknat mer än vad det riktigt är.

Till exempel 5st chokladkakor: C(1), C(2), C(3), C(4), C(5) och vi väljer 3 av de: C(1), C(2), C(3) eller C(5), C(4), C(3) men de är ju samma sak för att de alla är chokladkakor.

Du har 5 olika sorter av kakor, du ska välja 3 stycken, upprepning är tillåten men ordningen spelar ingen roll.

Vilket betyder att: Du kan välja (chokladkaka, chokladkaka, sockerkaka) som är samma som (sockerkaka, chokladkaka, chokladkaka,)

Du kan även välja (chokladkaka, chokladkaka, chokladkaka)

Detta är egentligen antalet lösningar till ekvationen $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 3 x_{1} t i l l x_{5} ä r s o r t e r n a o c h t r e a n ä r h u r m å n g a m a n s k a v ä l j a . E k v a t i o n e n h a r t i l l e x e m p e l e n l ö s n i n g (3, 0, 0, 0, 0) v i l k e t b e t y d e r a t t m a n h a r v a l t$

(chokladkaka, chokladkaka, chokladkaka)

Detta kan göras på $(\begin{matrix} 5 + 3 - 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 o l i k a s ä t t$ .

Svara