Kombinatorik i flera steg

En skolklass bestående av 17 pojkar och 13 flickor ska utse fem elever till ett stafettlag i en skoltävling. Reglerna säger att laget måste innehålla minst två flickor och minst två pojkar. På hur många sätt kan laget komponeras?

Jag har försökt lösa uppgiften genom att räkna

$(\begin{matrix} 17 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 26 \\ 1 \end{matrix})$ men det blir alldeles för stort. Jag har förstått så långt att jag när jag räknar så här råkar räkna med samma elever flera gånger. Problemet är att jag inte vet hur jag ska bli av med dessa överflödiga som gör att svaret blir för stort.

Vi räknar komplementet istället. Det finns inte två killer eller två tjejer med i laget. Så vi delar upp det i fall

0 killar, resten tjejer: $(\begin{matrix} 13 \\ 5 \end{matrix})$

1 kille, resten tjejer: $17 (\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix})$

0 tjejer, resten killar: $(\begin{matrix} 17 \\ 5 \end{matrix})$

1 tjej, resten killar: $13 (\begin{matrix} 17 \\ 4 \end{matrix})$

Totalt kan man skapa $(\begin{matrix} 30 \\ 5 \end{matrix})$ olika lag om man struntar i reglerna om tjejer/killar. Så svaret blir därför

$(\begin{matrix} 30 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 13 \\ 5 \end{matrix}) - 17 (\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 17 \\ 5 \end{matrix}) - 13 (\begin{matrix} 17 \\ 4 \end{matrix})$

Svara