Kombinatorik: hur komma fram till lösning
Kombinatorikuppgifter:
Hur är beräkningen, lösningen, för att kombinera tre olika färger på blommor: blå, röd, gul? Lösningen är: 3*3*3 = 27. Men hur kommer man fram till att det blir 3*3*3 = 27 kombinationer av dessa färger, röd, blo och gul? Har de prövat sig fram eller finns något samband? Är sambandet att det kan vara tre färger i varje ruta och då kan detta multipliceras till att bli 3*3*3 = 27 olika kombinationer. Men jag finner inte detta alldeles uppenbart, så hur ska jag kunna komma fram till en lösning jag vet är rätt?
Standardfråga 1a: Har du ritat? (ett träddiagram, lämpligen).
Den första färgen kan väljas på 3 olika sätt. Den andra färgen kan väljas på 3 olika sätt. Den tredje färgen kan väljas på 3 olika sätt.
Är det här verkligen Ma1? Kombinatoriken kommer väl inte förrän i Ma5? (Det skulle kunna vara en fördjupningsuppgift i Ma1.) Du kan flytta din fråga genom att redigera ditt förstainlägg (inom 2 timmar, sedan måste du be en moderator om hjälp). /moderator
Det här är en fördjupningsuppgifti Matematik 5000 1c. Kombinatoriken i matematik 5 som är liknande denna typ av uppgift torde vara multiplikationsprincipen. Dessvärre räknar multiplikationsprincipen med att ett av varje element väljs ur en mängd och kombineras med varandra.
Jag har gått igenom multiplikationsprincipen där jag med hjälp av mängdernas kardinalitet beräknat olika kombinationer när man väljer ett element ur varje mängd, t.ex. mängd A = 2, mängd B= 3, mängd C = 4: |A|* |B| * |C| = 2 * 3 *4 = 24 olika kombinationer när man väljer ett element ur varje mängd.
Denna uppgift i matematik 5000 1c, exempel 1, skiljer sig så till vida att jag inte ska välja bland en mängd från varje grupp och kombinera dem, utan jag ska välja att kombinera dem genemsamt och se hur många olika kombinationer det finns. Går det då att rita träddiagram för att lösa uppgiften?
Lärde mig en del från: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/kombinatorik/multiplikationsprincipen.
Som jag rekommenderade i mitt första inlägg: Rita ett träddiagram!
Den första blomman kan vara röd, blå eller gul. Detta är det första lagret i träddiagrammet. Det lagret har tre noder.
Oberoende av om den andra blomman var röd, blå eller gul, så kan den andra blomman vara röd, blå eller gul. Detta är det andra lagret i träddiagrammet, Det lagret har nio noder.
Oberoende av vilka färger de båda första blommorna hade, så kan den tredje blomman vara röd, blå eller gul. Detta är det tredje lagret i träddiagrammet, Det lagret har tjugosju noder.
Du kan se det som en mängd med kardinaliteten 3 där du skall välja tre element med återläggning. I exempel 2 gör man likadant, men utan återläggning.
Smaragdalena skrev:Som jag rekommenderade i mitt första inlägg: Rita ett träddiagram!
Den första blomman kan vara röd, blå eller gul. Detta är det första lagret i träddiagrammet. Det lagret har tre noder.
Oberoende av om den andra blomman var röd, blå eller gul, så kan den andra blomman vara röd, blå eller gul. Detta är det andra lagret i träddiagrammet, Det lagret har nio noder.
Oberoende av vilka färger de båda första blommorna hade, så kan den tredje blomman vara röd, blå eller gul. Detta är det tredje lagret i träddiagrammet, Det lagret har tjugosju noder.
Du kan se det som en mängd med kardinaliteten 3 där du skall välja tre element med återläggning. I exempel 2 gör man likadant, men utan återläggning.
Jag ska göra det och återkomma med svar.
Här räknade jag på uppgiften: "Anton har två par byxor, fyra skjortor och tre slipsar. På hur många olika sätt kan han välja ett par byxor, en skjorta och en slips?"
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/kombinatorik/multiplikationsprincipen
Mina svar blev, som jag tycker stämmer:
Lösning med träddiagram:
renv, det står i Pluggakutens regler att man bara skall ha en fråga i varje tråd. Vill du ha hjälp med uppgiften om Antoms kläder , kan du göra en ny tråd om den uppgiften. Den här tråden handlar om Almas blommor. /moderator
Smaragdalena skrev:renv, det står i Pluggakutens regler att man bara skall ha en fråga i varje tråd. Vill du ha hjälp med uppgiften om Antoms kläder , kan du göra en ny tråd om den uppgiften. Den här tråden handlar om Almas blommor. /moderator
Jag vet mycket väl pluggakutens regler rörande att man bara skall ha en fråga i varje tråd. Jag har inte begärt hjälp med uppgiften om Antons kläder. Jag valde att visa hur jag löste en liknande uppgift.
Gjorde en lösning där jag kombinerade Almas blommor med a = röda blommor, b = blå blommor och c = gula blommor:
Lösning med träddiagram, där det blir 27 olika kombinationer efter att ha kombinerat dem i a till a och vidare till a; a till a och vidare till b, sett från vänster i bild (träddiagrammet), osv:
Sista bilden är en lösning på Exempel 2: "Alma bestämmer sig för att välja en blomma av varje färg. På hur många sätt kan hon placera sina tre blommor?":
Finner kombinationerna genom att sätta en blomma längst till vänster som följer mönstret att längst till vänster, i mitt fall blomma a och kombineras med blommorna b och c. Därefter följer blomma b på raden nedanför och slutligen blomma c, längst till vänster, vilka kombineras med övriga blommor.
Träddiagrammet kombinerar jag enligt att blommorna kan kombineras i sitt led, det vill säga kombineras a-b-c och a-c-b. Där samma metod används för där strecken går från b vidare till a och c.
Tack för förklaringar och lösningsförslag Smaragdalena.
