Kombinatorik cykeltur
En familj om fem personer ska cykla efter varandra längs en smal
landsväg.
a) På hur många sätt kan familjemedlemmarna formera sig?
b) Det äldsta syskonet vill bestämt cykla före sina två yngre syskon
(oavsett var föräldrarna cyklar). På hur många sätt kan familjen
formera sig då?
Det är enbart fråga b) jag behöver hjälp med. Jag har ingen direkt aning hur jag ska börja. Beskriv jättegärna lösningen då jag suttit ett tag och klurat.
Svaret på (a) är 5! som du redan luskat ut.
(b) I var och en av dessa 120 permutationer har syskonen (A, B, C) någon inbördes ordning. Det är lika ”troligt” att A är först som att B är först som att C är först.
Så Äldsta syskonet är fråmst av syskonen i en tredjedel av fallen.
För att svara på frågan b) måste vi ta hänsyn till det faktum att det äldsta syskonet måste cykla före de två yngre syskonen. I detta fall finns det 3! (3 fakultet) olika sätt att ordna syskonen, och sedan finns det ytterligare 2! (2 fakultet) möjliga sätt att ordna föräldrarna. Totalt blir det då 3! * 2! = 12 olika sätt att formera familjen på.
Nej jujudo,
Du tar inte hänsyn till att det finns fem olika platser att placera personerna på. Om barnen är A, B, C och föräldrarna F samt G, så blir med din räkning ABCFG inte en annan ordning än ABFCG. Dessutom har du inte räknat just de fall där A är först av barnen.
Vi behöver inte bry oss om föräldrarna. Om vi skriver upp alla 120 möjliga permutationer så kommer syskonen A, B och C att ha någon inbördes ordning i var och en av dem. I en tredjedel av fallen är A först, i en tredjedel är B först, i en tredjedel är C först. Alltså är äldsta syskonet först i 120/3 = 40 av formationerna.
Färdigt.
