Kombinatorik - Bollar och lådor
Vi har 6 bollar och 4 lådor. Besvara vardera av följande frågor med ett (explicit uträknat) heltal. På hur många sätt kan vi lägga bollarna i lådorna, om:
a) Bollarna är lika och lådorna är lika
b) Bollarna är lika och lådorna är olika
Jag har lite problem med att tolka den här uppgiften. Vad menar de med att bollarna och lådorna är lika eller olika? Vilken formel är det som de vill att man ska använda här? Rätt svar på a) är: 9 b) 84
Det man menar med att bollarna är "lika" är att det inte spelar någon roll vilken boll som hamnar i vilken låda, utan bara hur många det är i varje låda. Det ses alltså som samma utfall om vi har boll 1,2,3 i låda A, 4 i B, 5 i C och 6 i D, som om vi har 4,5,6 i A, 1 i B, 2 i C och 3 i D.
Om lådorna är lika spelar det på samma sätt ingen roll om det är låda A som har 3 bollar eller någon annan låda. I det läget frågan alltså ekvivalent med "På hur många sätt kan man välja 4 naturliga tal så att summan av dem är 6?"
haraldfreij skrev:Det man menar med att bollarna är "lika" är att det inte spelar någon roll vilken boll som hamnar i vilken låda, utan bara hur många det är i varje låda. Det ses alltså som samma utfall om vi har boll 1,2,3 i låda A, 4 i B, 5 i C och 6 i D, som om vi har 4,5,6 i A, 1 i B, 2 i C och 3 i D.
Om lådorna är lika spelar det på samma sätt ingen roll om det är låda A som har 3 bollar eller någon annan låda. I det läget frågan alltså ekvivalent med "På hur många sätt kan man välja 4 naturliga tal så att summan av dem är 6?"
Ja precis. Min lösning ser ut så här:
1. (6,0,0,0)
2. (2,4,0,0)
3. (3,3,0,0)
4. (5,1,0,0)
5. (2,3,1,0)
6. (2,2,2,0)
7. (4,1,1,0)
8. (3,1,1,1)
9. (2,1,1,2)
Svar: 9 st
Antar att detta är rätt. Finns väl inget annat sätt man kan lösa uppgiften på?
Jag ser inget annat sätt att lösa uppgiften än att lista alternativen som du gjort, och sedan i b) skriva upp hur många olika lösningar varje alternativ ger upphov till. Däremot hade jag önskat mig dem i en mer strukturerad ordning, så man är säker på att de här 9 är de enda rätta. T.ex: sortera lådorna efter antalet bollar i dem, och sortera alternativen efter hur många bollar det är i första lådan, därefter andra osv:
6,0,0,0
5,1,0,0
4,2,0,0
4,1,1,0
3,3,0,0
3,2,1,0
3,1,1,1
2,2,2,0
2,2,1,1
haraldfreij skrev:Jag ser inget annat sätt att lösa uppgiften än att lista alternativen som du gjort, och sedan i b) skriva upp hur många olika lösningar varje alternativ ger upphov till. Däremot hade jag önskat mig dem i en mer strukturerad ordning, så man är säker på att de här 9 är de enda rätta. T.ex: sortera lådorna efter antalet bollar i dem, och sortera alternativen efter hur många bollar det är i första lådan, därefter andra osv:
6,0,0,0
5,1,0,0
4,2,0,0
4,1,1,0
3,3,0,0
3,2,1,0
3,1,1,1
2,2,2,0
2,2,1,1
Okej smart :) . Men hur blir det i b) ?
Jag tänkte så här för t.ex. (6,0,0,0) blir det 1*4 = 4 olika sätt lådorna kan vara olika.
För (5,1,0,0) blir det 2*4 = 8 olika sätt lådorna kan vara olika.
Sedan adderade jag alla och fick 96. Detta verkar dock vara fel eftersom rätt svar ska vara: 84
