Kombinatorik
a) Hur många "ord" kan man bilda av bokstäverna i ordet B A N A N ?
b) Hur många av orden startar med AN? (De flesta orden saknar betydelse)
På a) tänkte jag att ordning spelar roll så jag räknade med permutationer, 5!. På b) vet jag inte hur jag ska tänka.
Men mitt svar på a) var fel, och jag förstår inte varför.
Problemet på a) är att du räknar båda dina A:n och N som olika bokstäver. Vi kan tänka att de egentligen är numrerade:
B A1 N1 A2 N2
Om du då helt utan förbehåll slår 5! på räknaren så räknar du som om A1 och A2 samt N1 och N2 är skilda tecken, vilket de såklart inte är. Med andra ord betraktar du exempelvis dessa ord som olika ord, trots att de är samma:
B A2 N1 A1 N2
B A1 N1 A2 N2
För att undvika detta måste du få bort den inbördes ordningen, genom att dela resultatet på alla sätt du kan permutera de enskilda (upprepade) bokstäverna. Det gör du lättast genom att dela med 2!2!.
På borde väl svaret bara bli 3! ? Eftersom de två första positionerna i ordet är tagna finns det nu tre unika tecken kvar att blanda. Detta kan göras på 3! sätt.
Svaret på a) är 30 ord, vilket jag får om jag delar 5! med 2!*2!. Men det är inte samma sak som 3! så nu jag förstår inte riktigt varför jag inte kan betrakta bokstäverna som 3 element och räkna 3! heller.
Vad är svaret på b)?
Inser nu också att jag tänkte knasigt på b). Vi måste såklart fortfarande ta hänsyn till ordning...
...
Eller kanske inte. Skicka gärna svaret så får vi se.
Svaret på b) är 6
Ja precis, så det blir så som jag tänkte först då, alltså 3!. Ska försöka klura ut hur jag ska förklara hur jag kom fram till det.
Jag tänker så här:
Vi har alltså elementen B A N att blanda. De första två positionerna behöver vi inte bry oss om, för de platserna är redan fyllda. Situationen är alltså ekvivalent med en situation där det inte finns några tecken i början alls, och vi bara ska bilda ord med längd tre av unika element.
Ett sätt att se på detta är följande:
Vi tänker bort de två bokstäverna A N i början, och tänker att vi nu endast har tre platser. Vi permuterar våra tre bokstäver B A N över våra tre platser och har då bildat 3!=6 ord. Nu tar vi varje ord, och klistrar fast "AN" i början. Håller du med om att vi då fortfarande har 3! ord?
Tack! Nu förstår jag principen.
Gällande a), ska jag alltid dela med de upprepade bokstäverna/siffrorna även om ordning spelar roll? för i det här fallet spelar ordning roll, bara att det egentligen blir samma för att det är samma bokstäver. Eller tänker jag fel nu?
I uppgiften skiljer vi ju egentligen inte på N1 och N2 eller A1 och A2, utan det är mer för att hjälpa oss hålla tungan rätt i mun. Om det inte uttryckligen står att varje tecken är unikt (alltså att vi skiljer på N1 och N2) så kan du (och bör du) med gott samvete dela bort inbördes ordning.
Ett bra exempel är kort. Låt säga att jag lägger fram två kungar med olika färger. Då finns det ett sätt att blanda dessa om vi bara ser till valörens värde, men det finns två sätt om vi också tar hänsyn till färgen.
