Kombinatorik
Hej, jag behöver hjälp med en typ av kombinatorik fråga, som inte tillåter att samma tal är bredvid varandra. Den följer typ såhär:
Hur många sexsiffriga tal kan man skapa med två 1:or, två 2:or och två 3:or, där ett nummer inte får sitta bredvid ett annat lika nummer.
T.ex. är 123123 okej men inte 122313. Jag löste den genom att räkna ut hur många kombinationer det är för varje startsiffra och sedan multiplicera med 3:
1:
121323
131232
123123
123132
123213
123231
132132
132123
132321
132312
Det blir 10 st och 10*3 är 30, så 30 kombinationer stämmer väl men det måste finnas ett bättre sätt att lösa den på! Kanske någon formel eller något? Tack för hjälpen i förhand!
Kombinationen av villkor gör det osannolikt att det skulle finnas en formel för detta men du kan ju korta ner arbetet lite (obetydligt) genom att räkna kombinationer för två givna startsiffror och multiplicera med 6.
( Det går inte med tre startsiffror eftesom de blir olika fall om en siffra tagit slut eller inte )
farfarMats skrev:Kombinationen av villkor gör det osannolikt att det skulle finnas en formel för detta men du kan ju korta ner arbetet lite (obetydligt) genom att räkna kombinationer för två givna startsiffror och multiplicera med 6.
( Det går inte med tre startsiffror eftesom de blir olika fall om en siffra tagit slut eller inte )
Så man måste prova sig fram? :(
Så man måste prova sig fram? :(
Ja, och man kan spara på mödan genom att göra en systematisk prövning (som du redan har gjort).
Man kan spara mer om man bara tittar på permutationer där första förekomsten av varje siffra är i nummerordning. Sedan multiplicerar man med 6.
Då kan vi rätt lätt hitta svaret för 1 till 4 också, osv.
Men permutationer hör knappast hemma i åk 9 - permutationer läser man i Ma5 på gymnasiet.
Laguna skrev:Man kan spara mer om man bara tittar på permutationer där första förekomsten av varje siffra är i nummerordning. Sedan multiplicerar man med 6.
Då kan vi rätt lätt hitta svaret för 1 till 4 också, osv.
Hur kommer man fram till detta?? Finns det något bevis?
Smaragdalena skrev:Men permutationer hör knappast hemma i åk 9 - permutationer läser man i Ma5 på gymnasiet.
Jag menade inte någon särskild egenskap hos permutationer som man lär sig senare, jag menade bara grundbetydelsen hos ordet, men det är kanske inte vardagsspråk. Här menar jag de olika sätten som finns att bilda det där talet.
Emilioo skrev:Laguna skrev:Man kan spara mer om man bara tittar på permutationer där första förekomsten av varje siffra är i nummerordning. Sedan multiplicerar man med 6.
Då kan vi rätt lätt hitta svaret för 1 till 4 också, osv.
Hur kommer man fram till detta?? Finns det något bevis?
Detta lär man sig nog senare, men det är inte så besvärligt: t.ex. tre olika saker kan man ställa upp i sex olika ordningar: 123, 132, 213, 231, 312 och 321. Talet sex kommer av att man först placerar t.ex. 1:an, vilket kan göras på tre sätt. Sedan placerar man 2:an, och det finns två platser kvar, så det finns 3*2 sätt att placera 1:an och 2:an. Sedan är det bara en plats kvar för 3:an.
För flera blir det likadant: med n saker placerar man först en av dem på något av n ställen, nästa på något av de kvarvarande n-1 ställena, och det blir till slut n*(n-1)*(n-2)...2*1 sätt. Detta tal kallas fakultet. Fakulteten av 4 är 24.
Så i vår uppgift kan vi välja en viss ordning och uppfylla kraven. Sedan kan vi måla om siffrorna.
Talet måste börja med 12. Sedan kommer antingen 1 eller 3:
1212, går inte för sen skulle 33 komma
121323
123123, 123132
123213, 123231
Det är fem möjligheter. Målar vi om siffrorna så har vi sex sätt att göra det (inklusive att låta dem vara), så det blir 5*6 = 30 möjligheter sammanlagt.
Ska vi prova med 4?
Jag fick det till 35, gånger 24 = 840.
Jag missade nog något. Mitt lilla program säger 36 gånger 24.
Sedan 329 * 5!,
3655 * 6!,
47844 * 7!,
721315 * 8!
Jag ser inget system där.
