Kombinatorik

Vet du om alla djuren är unika, eller är alla får utom det största identiska? Det spelar rätt stor roll!

Det framgår inte riktigt men skulle anta att alla är unika. Glömde skriva också att Bo kan tänka sig att få både den största geten och det största fåret.

Om vi utgår ifrån att alla är unika.

Vi börjar med att ignorera kravet att Bo ska ha åtminstone den största geten eller det största fåret. Vi delar upp det i fall beroende på hur många får Bert får.

0 Får: $\binom{13}{5}$ olika sätt.

1 Får: $\binom{13}{4}\cdot \binom{11}{1}$ olika sätt.

2 Får: $\binom{13}{3}\cdot \binom{11}{2}$ olika sätt.

3 Får: $\binom{13}{2}\cdot \binom{11}{3}$

4 Får: $\binom{13}{1}\cdot \binom{11}{4}$

5 Får: $\binom{13}{0}\cdot \binom{11}{5}$

Nu kan vi räkna antalet sätt där Bert får både det största fåret och den största geten, och vi delar upp det i samma fall.

0 Får: 0 sätt

1 Får: $\binom{12}{3}$

2 Får: $\binom{12}{2}\binom{10}{1}$

3 Får: $\binom{12}{1}\binom{10}{2}$

4 Får: $\binom{12}{0}\binom{10}{3}$

5 Får: 0 sätt

Nu kan du räkna samma antalet i första uträkningen och dra bort antalet sätt i andra uträkningen för att få svaret på frågan. 

Hur kan det där ge rätt svar om man räknar baserat på de två fall som absolut inte får hända?

Du menar alltså att jag ska addera de övre svaren med varandra och sedan subtrahera det med de nedre svaren? Då får jag 40964. Känner att jag inte riktigt hänger med hur vi kommer fram till allt detta? Är taktiken att ta fram allt som inte får hända? 

Ajdå, jag missade kravet att Bert ska åtminstone få två getter. Då får man helt enkelt dela upp det i andra fall.

Bert får två getter: ...

Bert får tre getter: ...

osv

Sedan drar man bort fallen där Bert får både den största geten och det största fåret. Då kommer man alltså ha kvar fallen där Bo får åtminstone en av största geten och det största fåret, samt att Bert får åtminstone två getter.

Men det kommer ju generera en massa dubbletter?

Säg att man har 5 getter som heter A, B, C, D och E.

Om man väljer dem i den ordningen ABCDE så kommer den ge en kombination medan EDCBA kommer ge en annan. Slutresultatet är ju densamma? Mängden av getter kommer innehålla samma element och därför, enligt mig, vara samma mängd? Även om man kommit fram till den på ett annorlunda sätt..

Fast du behöver ju inte ta hänsyn till ordningen du väljer dem i?

Om Bert får 2 getter så kan detta göras på, $\binom{13}{2}\cdot \binom{11}{3}$ olika sätt, man tar alltså inte hänsyn till ordningen för hur getterna väljs.

Fast då får man ju att AB och BA är två skilda saker. Vilket det inte är? Eller överanalyserar jag?

Jag förstår inte riktigt varför det skulle bli det.

Är det att du tänker på när jag multiplicerar binomialkoefficienterna det skulle dyka upp dubbletter? För tänk då i sådana fall att man väljer olika saker där, i ena fallet är det getter i andra fallet är det får. Så jag kan inte välja 2 stycken getter i första valet, och sedan få några får, sen gör jag ett till val där jag får samma två getter på andra valet, för i andra valet väljer jag bara får.

MrVasberg skrev :

Du menar alltså att jag ska addera de övre svaren med varandra och sedan subtrahera det med de nedre svaren? Då får jag 40964. Känner att jag inte riktigt hänger med hur vi kommer fram till allt detta? Är taktiken att ta fram allt som inte får hända? 

Låt $A$ vara mängden av alla olika fall där Bert får åtminstone två getter. Låt sedan $B$ vara mängden av alla fall där Bert får två getter och han får både det största fåret och den största geten. Då söker du alltså $|A\B| = |A| - |B|$. Så om du kan beräkna storleken på $A$ och $B$ så är du färdig.