Kombinatorik

Kan du beräkna hur många n-siffriga positiva heltal som inte har någon etta i sig?

Tråd flyttad från Kluringar till Matte 5/Kombinatorik. /Smutstvätt, moderator

Antalet n-siffriga tal utan talet 1: 9^n (alla siffror exkluderande 1), och sedan bortser vi talen som börjar på 0, vilket jag undrar skrivs korrekt. 

Det totala antalet n-siffriga tal är 10^n (även här vill jag bortse alla tal som börjar på 0). Men med det jag vet kan det sammanfattas:

$\frac{9^n}{{10}^n}$

Vid det tal n då kvoten understiger 1/2, vet vi att vid ett tal med detta n antal siffror eller mer, finns fler tal med 1 än tal utan 1. Men, denna lösningen krävde att jag prövade mig fram vilket inte kändes någon vidare. Finns ett sätt utan prövning? Är det så att miniräknare tvunget ska behövas för att lösa uppgiften? Finns en mer precist lösning på problemet? 

Antalet n-siffriga positiva heltal utan en etta är $8\cdot 9^{n - 1}$. Detta eftersom första siffran inte kan vara en 0:a, så där har man bara 8 val att välja mellan. Total finns det $9\cdot 10^{n - 1}$ stycken n-siffriga positiva heltal.

Så man ska ha att

$\frac{8·9^{n-1}}{9·{10}^{n-1}}=\frac{4}{5}·{\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-2}<\frac{1}{2}$

Logaritmer båda sidor och förenkla så får man

$n>2+\frac{\ln(5/8)}{\ln(9/10)}\approx6.5$