Kombinatorik

Jag skulle använda brute force  och börja med att sätta ut A på position 1, kolla hur många ställen jag kan sätta C på och räkna ut hur många varianter det blir, fortsätta med att sätta A på position 2, kolla hur många ställen jag kan sätta C på och räkna ut hur många varianter det blir, därefter med att sätta A på position3, kolla hur många ställen jag kan sätta C på och räkna ut hur många varianter det blir och så vidare tills ag har haft A i alla positioner.

Man kan också tänka så här att först delar man upp det i två fall, två bokstäver mellan A och C och tre bokstäver mellan A och C och tar dem var för sig.

För två bokstäver mellan A och C blir resonemanget så här: Först väljer vi bokstäverna som ska vara mellan och vi har 6 att välja på. De kan sättas in på 6*5 sätt, eftersom ordningen spelar roll. Sedan är det skillnad på om A står först och C sist eller tvärt om, tex AFMC och CFMA. Så det blir 6*5*2=60 permutationer av A och C med två bokstäver mellan. Till sist behandlar vi pusselbiten med A, C och två andra som en bokstav, och permuterar den med de fyra som är över. Det ger 5*4*3*2*1=120 permutationer, och det totala antalet blir då 120*60=7200 permutationer med två bokstäver mellan A och C.

Sedan kan man göra ett liknande resonemang för fallet med tre bokstäver mellan dem.

Det roliga med kombinatorik är att man alltid kan lösa uppgifterna på flera olika sätt och jag kom just på ett till. Det är en lite enklare variants på Smaragdalenas metod ovan. Återigen visar jag för fallet med två bokstäver mellan, så får du göra det med tre bokstäver själv. Ta bort bokstaven C och bilda alla möjliga permutationer med de andra. Det blir 7!=5040 ord med sju bokstäver. Sedan bildar vi nya ord genom att sätta in C två bokstäver bort.

Om A står i position 1, 2, 6, eller 7 finns det bara ett sätt att sätta in C. Om A står i position 3, 4 eller 5 finns det två sätt att sätta in C. Då får man:

Antal ord med A i position 1, 2, 6, eller 7 från början = $\frac{4}{7}*5040$

Antal ord med A i position 3, 4 eller 5 från början = $2*\frac{3}{7}*5040$

Totalt antal ord = $\frac{4}{7}*5040+2*\frac{3}{7}*5040=\frac{10*5040}{7}=7200$

Sedan kan man göra på samma sätt men med tre bokstäver mellan.

Jag lyckades lösa den men sättet gave fel svar på c) "det får inte vara två eller tre bokstäver mellan A och C"

Jag började på lösningen så här:

A_C:

ordning på A och C: 2 sätt

Bokstav mellan A och C: 6 sätt

Resterande bokstäver: 5! sätt

Resterande bokstäver + A_C: 6! sätt

Totalt: 1036800

Här insåg jag att jag gjorde fel eftersom svaret är 27360 

Om du har placerat ut 3 bokstäver finns det bara 4 bokstäver kvar, inte 5.

Situationen i den första och den andra uppgiften verkar vara komplement till varandra, om jag tolkar uppgiften rätt.

Ja, det är komplementet. Jag löste c) genom att ta 8! subtraherat med svaret i den första uppgiften. Det gav rätt svar. 

Tack för hjälpen!