Kombinatorik

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ är antalet sätt att välja ut k enheter (oaktat ordning) från en mängd med n enheter. Du kan ju välja ut k enheter genom att peka ut de n-k enheter som du inte väljer. Tex, om du har en klass med 25 elever och skall välja ut 5 personer till ett innebandylag så kan du i princip göra det genom att välja ut de 20 personer som inte får vara med i innebandylaget.

Jag brukar tänka på binomialkoefficienter som  $\left(\begin{array}{c}(m+n)!\\ m!n!\end{array}\right)$ då blir det rätt uppenbart sant

Överkurs:

och leder naturligt vidare till polynomialkoefficienterna   $\left(\begin{array}{c}(i+j+k+...)!\\ i!j!k!...\end{array}\right)$ när man delar upp i flera grupper.

Givet en mängd M med n element. Definiera en funktion f från (mängden av delmängder till M) till sig själv, given av f(M)=M^c. Den funktionen är en involutiv bijektion, dvs komplementet till komplementet ger den ursprungliga delmängden, och tar delmängder med k element till delmängder med n-k element. 

Åh nu fattar jag till slut. Funktionen är definierad på Ms delmängder och lika med delmängdens komplement. (Jag läste f(M) som det värde funktionen skulle ha för ursprungsmängden och fattade nada särskilt som jag inte är bekant med ^c för komplement). 

Men det fattas väl ändå att visa att binomialkoefficienterna är invarianta under f - å det är ju det vi skulle göra ?