Kombinatorik

Stenad skrev:

Hmm hur ska man tänka här? :) 

Jag antar att man ska använda sig av formeln för "Oordnat urval" 

 

$\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)...1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Pröva att använda sambandet $\binom{a}{b}=\frac{a!}{(a-b)!b!}$ på vänsterledet.

Yngve skrev:

Stenad skrev:

Hmm hur ska man tänka här? :) 

Jag antar att man ska använda sig av formeln för "Oordnat urval" 

 

$\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)...1}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Pröva att använda sambandet $\binom{a}{b}=\frac{a!}{(a-b)!b!}$ på vänsterledet.

Okej tack! Hur menar du då? :) 

Det ger väl oss $\frac{(n+1)!}{2(n-2)!}$

Här är en lösning jag kom fram till kanske inte den enklaste.

Stenad skrev:

Okej tack! Hur menar du då? :) 

Det ger väl oss $\frac{(n+1)!}{2(n-2)!}$

Ja, nästan.

Bara ett litet fel i uttrycket (n-2)! i nämnaren.

Jobba sedan lite med högerledet, t.ex. gemensam nämnare och se om du hittar likheter.

Tendo skrev:

Här är en lösning jag kom fram till kanske inte den enklaste.

Visa spoiler

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}n+1\\ 2\end{array}\right)=\frac{(n+1)!}{2(n-1)!}=\frac{(n+1)n!}{(n-1)2(n-2)!}=\frac{n!}{2!(n-2)!}\times \frac{n+1}{n-1}= \\ =\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)\times (1+\frac{2}{n-1})=\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)+\frac{2n!}{(n-1)2(n-2)!}=\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)+n \end{gathered}$$

Okej tack ser ju bra ut. :) Men jag förstår inte riktigt.

 T.ex. hur går du från "(n+1)!" i täljaren till "(n+1)n!". Vilken räkneregel tillämpar du här? 

Edit: Okej jag förstår just det steget. Det blir en naturlig följd av att (n+1)! = n+1 * n * n-1 osv. Så därav (n+1)! = (n+1)n!. Ska fortsätta kolla på din lösning nu. :)

En del lösningsvägar här är plågsamt komplicerade. Kom ihåg att "n över k" också uttrycker produkten av k, k-1, k-2 etc. k faktorer, och sedan delat med k!. Jag ser det som den ursprungliga kombinatoriska motiveringen till notationen.

Så det är (n+1)n/2 = n(n-1)/2 + n vi ska bevisa. 

Laguna skrev:

En del lösningsvägar här är plågsamt komplicerade. Kom ihåg att "n över k" också uttrycker produkten av k, k-1, k-2 etc. k faktorer, och sedan delat med k!. Jag ser det som den ursprungliga kombinatoriska motiveringen till notationen.

Så det är (n+1)n/2 = n(n-1)/2 + n vi ska bevisa. 

Hmm okej jag är nöjd med lösningen Teno visade. Tillräckligt simpel för mig att förstå i alla fall. :P 

Har du en alternativ enklare lösning visa den gärna mattematiskt! (så det blir enklare att förstå hur du tänker)   :) 

Jag håller i princip med Laguna. Nedan följer två enkla lösningar:

A) $n=\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)$

Så vi behöver visa $\left(\begin{array}{c}n+1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)$

Vilket helt enkelt är ett specialfall av pascals regel. 

B) Ett rent kombinatoriskt resonemang. VL är antalet sätt att bland $n+1$personer välja ut två. Betrakta nu en specifik person. Om denne är med i urvalet kan den andre väljas på n sätt. Om denne inte är med i urvalet återstår att välja 2 bland resterande n. Dvs antalet sätt att Väla 2 bland n+1 är även lika med HL. 

Laguna skrev:

En del lösningsvägar här är plågsamt komplicerade. Kom ihåg att "n över k" också uttrycker produkten av k, k-1, k-2 etc. k faktorer, och sedan delat med k!. Jag ser det som den ursprungliga kombinatoriska motiveringen till notationen.

Så det är (n+1)n/2 = n(n-1)/2 + n vi ska bevisa. 

Jag ser ett litet slarvfel. Jag menade n, n-1, n-2 etc. k faktorer.