Kombinationer vs permutationer
Följande uppgifter visar skillnaden mellan kombinationer och permutationer.
1. Lena ska bjuda 7 personer till sin fest. Hon väljer bland 12 kompisar där Nils och Sally ingår. Hon vet att det inte är lyckat att bjuda dem på samma fest. På hur många sätt kan hon göra sitt val om hon tar hänsyn till detta?
2. 12 personer ska gå på bio, där Sally och Nils ingår. På en rad ryms 7 personer. På hur många sätt kan de sätta sig utan att Sally och Nils sitter bredvid varandra?
Hur jag har löst problemen:
1. Komplementhändelse:
C (12, 7) - C (2,2) x C(10, 5)
2. Komplementhändelse:
P (12, 7) - P (10,5) x 12
Det jag är lite osäker på är om 12:an ska vara där. Tänkte nämligen såhär:
Sally Nils 10 9 8 7 6
10 Sally Nils 9 8 7 6
10 9 Sally Nils 8 7 6
10 9 8 Sally Nils 7 6
10 9 8 7 Sally Nils 6
10 9 8 7 6 Sally Nils
OCH
Nils Sally 10 9 8 7 6
10 Nils Sally 9 8 7 6
10 9 Nils Sally 8 7 6
10 9 8 Nils Sally 7 6
10 9 8 7 Nils Sally 6
10 9 8 7 6 Nils Sally
Det blir alltså P (10, 5) x 12 för antalet sätt att välja de återstående personerna. Stämmer min tankegång här?
1) Jag tycker din ansats och ditt svar är rätt, alltså räkna ut alla möjliga grupper och sedan ta bort de som vi inte vill ha.
2) Här förstår jag inte riktigt vad du gör. Jag skulle permutera 7 personer (som du har gjort) och sedan ta bort varje fall där de sitter bredvid varandra (6*2!).
Så svaret på 2 skulle då bli P (12, 5) - (12!)? Det blir ju negativt. Eller menar du P( 12, 5) - 6 x (2!)?
2!*6 är inte samma som 12!.
Och dessutom ska det stå P(12, 7), inte 5. Jag föreslår alltså svaret P(12, 7) - 6*2!
Du kan ju kolla om det stämmer med facit :).
Tillägg: 16 okt 2023 10:41
Oj, det blev en liten tankevurpa här från min sida. Beklagar. Har ritat lite i paint och håller nog med ditt förslag på fråga 2.
Men det stämmer inte överens med en annan uppgift som står i en annan bok:
Gabriella, Thuy, Mathilda, Ella och Sara ska gå på bio. De har fått platserna 112 - 116. Hur många placeringar finns det om Gabriella och Thuy har bråkat och inte vill sätta sig bredvid varandra?
Jag tänkte först precis som du skrev:
P (5 , 5) - 4 x 2! = 116
Men svaret är:
P (5, 5) - P(3 , 3) x 8 = 72
Och det är det andra svaret som är rätt.
Jag tänkte fel förut och jag tycker ditt resonemang verkar stämma. Så här tänker jag för övrigt:
Alltså jag tänker att jag skapar "grupper" först och sedan tar jag alla sätt att arrangera den valda gruppen. Men det blir ju samma sak.
Ja precis, tack så mycket för hjälpen!
Kategorisering - Tråden flyttad från Alla trådar till Kombinatorik. /admin
