Kombinationer och sannolikhet

Robert, Ailin och Pierre och tre andra kompisar går till matsalen. Där sätter de sig slumpmässigt vid ett runt bord med sex platser. Vad är sannolikheten att Robert, Ailin och Pierre hamnar bredvid varandra?

Mitt försök:

Jag delade in de 6 personer i 2 grupper. Robert, Ailin och Pierre i samma grupp och resten i annan grupp. Jag tänkte att jag ändrar på uppgiften lite och tänka hur jag kan välja ut 3 personer i rad. Sen de två grupper kan placeras på 2! Sätt, alltså antingen väljer vi grupp 1 eller 2 först eller tvärtom. Efteråt ska man dela med 6 eftersom samma ordning förekommer på 6 olika sätt då de sitter i en ring.

(3/6)* (2/6) * (1/6)* (3/3) *(2/2) * (1/1) * 2!= (3! * 3!) *3! /6!) =0,1

Eftersom det är en ring: 0.1/6= 0.0167

Facit: 0.3

Vad gör jag för fel? Tänker helt fel eller?

Svaret

I din lösning blandar du två olika sätt att betrakta problemet, ett där man räknar permutationer (sätt som vännerna kan sätta sig) och sannolikheterna. Låt oss först titta på "sannolikhetsapproachen"

När du placerar ut en person så blir det en person mindre kvar i gruppen att placera ut efteråt.

Sannolikheten för att Robert, Ailin och Pierre slumpmässigt ska hamna på rad från plats 1 till plats 3 är

$\displaystyle \frac36\cdot \frac25\cdot \frac14=\frac{6}{120}=\frac{1}{20}$

Robert, Ailin och Pierre kan sitta bredvid varandra med start på plats 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Varje konfiguration förekommer med samma sannolikhet. Vi adderar dessa sannolikheter

$\displaystyle 6\cdot \frac{1}{20}=\frac{3}{10}$

Vi kan också räkna antalet permutationer.

Det finns 36 sätt för de tre vännerna att placera sig på rad runt bordet (6 startplatser $\cdot3\cdot 2 \cdot 1$ ).

Det finns totalt 120 sätt för de tre vännerna att placera sig på de sex platserna $6\cdot 5 \cdot 4$ .

Alltså är sannolikheten $\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$

Svara