Kombination med repetition utan hänsyn till ordning
Jag har ganska svårt att förstå motiveringen till hur man beräknar kombinationer med repetition och utan hänsyn till ordning. Min bok ger ett exempel på hur man väljer 3 glasskulor av 7 smaker och menar att man kan dela in fallet i c(7,3) alltså då alla smaker är olika, c(7,2) * 2 och c(7,1) då man väljer en enda smak. Och sedan adderar boken den totala summan.
Jag förstår inte denna princip, varken varför man kan dela upp fallet eller varför man multiplicerar med 2 i fall 2, och undrar om man kan lösa uppgiften på ett annat sätt eller om någon skulle vara snäll och förklara vad boken menar?
Du väljer 3 kulor bland 7 olika smaker.
Antingen så väljer du tre olika smaker eller två olika smaker eller bara en smak. (Då det är "antingen eller" så kommer kombinationerna att läggas ihop rakt av.)
Att välja 3 smaker av 7 kan göras på C(7,3) sätt.
Att välja 2 smaker av 7 kan göras på C(7,2) sätt. Här får man även skilja på fallen (2 vanilj + 1 jordgubb) och (1 vanilj + 2 jordgubb), vilket gör att antalet tvåsmakskombinationer här blir det dubbla, 2*C(7,2).
Att välja 1 smak av 7 kan göras på C(7,1) sätt.
Antalet möjliga glasskombinationer blir då
C(7,3) + 2*C(7,2) + C(7,1)
om man inte tar hänsyn till ordningen på kulorna.
Dr. G skrev:Du väljer 3 kulor bland 7 olika smaker.
Antingen så väljer du tre olika smaker eller två olika smaker eller bara en smak. (Då det är "antingen eller" så kommer kombinationerna att läggas ihop rakt av.)
Att välja 3 smaker av 7 kan göras på C(7,3) sätt.
Att välja 2 smaker av 7 kan göras på C(7,2) sätt. Här får man även skilja på fallen (2 vanilj + 1 jordgubb) och (1 vanilj + 2 jordgubb), vilket gör att antalet tvåsmakskombinationer här blir det dubbla, 2*C(7,2).
Att välja 1 smak av 7 kan göras på C(7,1) sätt.
Antalet möjliga glasskombinationer blir då
C(7,3) + 2*C(7,2) + C(7,1)
om man inte tar hänsyn till ordningen på kulorna.
Jag förstår nu efter att ha läst om ett antal gånger. Tack!
Ett annat sätt att tänka är "stars and bars"-metoden. Vi ska välja 0-3 kulor av varje sort, så att det totalt finns 3 kulor. Man kan visualisera ett sånt val, säg 2 kulor av sort B och 1 av sort E, sen inga av övriga, på det här sättet:
|oo|||o||
|-tecknen är avskiljare mellan olika typer av glass, medan "o" är en glasskula. Alla "o":n vänster om första | är kulor av sort A (där finns inga). Alla o:n mellan första och andra avskiljaren är kulor av sort B (där finns 2), och så vidare upp till sort G, som är området till höger om sista avskiljaren.
Antalet olika glassar är lika med antalet såna här representationer. Och det är faktiskt inte så svårt att beräkna: totalt finns 9 tecken, och därmed 9 platser att placera tecken på. 3 av dessa är glasskulor, resten blir avskiljare. Antalet sätt att välja de 3 glasskuleplatserna på är , och detta blir alltså antalet glassar.
Man behöver alltså inte dela upp i fall, men jag tror inte detta lärs ut på gymnasiet.
Skaft skrev:Ett annat sätt att tänka är "stars and bars"-metoden. Vi ska välja 0-3 kulor av varje sort, så att det totalt finns 3 kulor. Man kan visualisera ett sånt val, säg 2 kulor av sort B och 1 av sort E, sen inga av övriga, på det här sättet:
|oo|||o||
|-tecknen är avskiljare mellan olika typer av glass, medan "o" är en glasskula. Alla "o":n vänster om första | är kulor av sort A (där finns inga). Alla o:n mellan första och andra avskiljaren är kulor av sort B (där finns 2), och så vidare upp till sort G, som är området till höger om sista avskiljaren.
Antalet olika glassar är lika med antalet såna här representationer. Och det är faktiskt inte så svårt att beräkna: totalt finns 9 tecken, och därmed 9 platser att placera tecken på. 3 av dessa är glasskulor, resten blir avskiljare. Antalet sätt att välja de 3 glasskuleplatserna på är , och detta blir alltså antalet glassar.
Man behöver alltså inte dela upp i fall, men jag tror inte detta lärs ut på gymnasiet.
Jaha så man skulle lika gärna kunna räkna på antal sätt att placera ut avskiljare? Intressant! Hur vet man dock generellt och inte begränsat till denna fråga, hur många avskiljare man ska ha?
Det beror på hur många grupper man vill bilda. Här finns ju 7 sorters glass, och med 6 avskiljare blir det ju 7 intervall mellan (och utanför) dessa. Så det är antalet "grupper" minus ett.
Att man inte skulle ta någon hänsyn till ordningen är ju fullständigt vansinnigt.
En varm sommardag är det viktigt att lägga blåbär underst (först) följt av citron och melon.
Är det däremot molnigt kan man tänka sig att reversera ordningen.
Om det är en sommarkväll kan kan man tänka sig jordgubb och lakrits med vanilj som avskiljare, men det vore helt fel att lägga lakrits och jordgubb i direktkontakt, det förstår ju alla.
Jroth skrev:Att man inte skulle ta någon hänsyn till ordningen är ju fullständigt vansinnigt.
En varm sommardag är det viktigt att lägga blåbär underst (först) följt av citron och melon.
Är det däremot molnigt kan man tänka sig att reversera ordningen.
Om det är en sommarkväll kan kan man tänka sig jordgubb och lakrits med vanilj som avskiljare, men det vore helt fel att lägga lakrits och jordgubb i direktkontakt, det förstår ju alla.
Helt sant!
