Kolla om 2x * sin(x) är surjektiv

Hej,

Notera att eftersom både $2x$ och $\sin\left(x\right)$ är kontinuerliga funktioner så följer det att produkten också är kontinuerlig (varför?). Låt funktionen $f$ beteckna produkten.

Nu antar jag att både definitionsmängden $D$ och målmängden $M$ i detta fall är $\mathbb{R}$. För att funktionen ska vara surjektiv så måste det finnas åtminstone ett $x\in \mathbb{R}$ sådant att för varje $y\in \mathbb{R}$, $f\left(x\right)=y$.

Givet ett $y\in \mathbb{R}$ så välj $k\in\mathbb{Z}$ och låt $x=2\pi k$ sådant att $f\left(2\pi\left(k-1\right)\right)\leq y\leq f\left(2\pi k\right)$ (varför finns det ett sådant $k$? Studera funktionens beteende).

Vad kan vi säga om alla $y$ som uppfyller den olikheten?

Hej,

Du får möjligen argumentera lite annorlunda än vad jag gjorde ovan, tänkte på produkten $2x\cos\left(x\right)$ och inte $2x\sin\left(x\right)$. Men idén är densamma.

Moffen skrev:

Hej,

Du får möjligen argumentera lite annorlunda än vad jag gjorde ovan, tänkte på produkten $2x\cos\left(x\right)$ och inte $2x\sin\left(x\right)$. Men idén är densamma.

Hur blir det annorlunda för sin?

Då hade jag nog istället börjat med att betrakta $x=2\pi k +\dfrac{\pi}{2}$.