Koefficienter och polynom
Hej,
Jag undrar följande: om man har ett polynom f(x) = a_1x^n + a_2x^(n-1) + ... + a_n där för alla i som tillhör de naturliga talen så gäller att a_i tillhör de reella talen så kan man studera den ensamma koefficienten utan x - term, det vill säga a_n för att gissa rötterna på funktionen?
Jag har sett då man exempelvis har f(x) = x^3 + 3x^2 - 5x + 6. Då har jag sett hur man testar lösningarna x = +-1, +-2, +-3 samt +-6, genom att titta på faktorerna som utgör den ensamma koefficienten 6, så som jag minns det och förutsatt att man då har heltalslösningar till polynomet. Nu kan jag vara helt ute och cykla, men jag undrar vad denna metod kallas och vilket bevis bygger den på? Jag skulle vara tacksam ifall någon skulle kunna förklara denna procedur för mig och varför den fungerar.
OBS! Notera att det senare f(x):et enbart var ett exempel.
Tack på förhand!
Det låter som att du pratar om rationella rotsatsen/rotkriteriet/rottestet / satsen om rationella rötter (kärt barn har många namn). Här finns en förklaring av satsen. :)
Ett mindre rigoröst sätt att tänka på detta:
Du har nog sett att polynom också kan skrivas som en produkt, med hjälp av dess nollställen. Om vi tar ditt tredjegradspolynom som exempel, och kallar nollställena a, b och c så kan f(x) uttryckas:
Tänk sen att vi utvecklar parenteserna med vanliga distributiva lagen, dvs bildar alla kombinationer av termer mellan parenteserna. Vilka kombinationer kommer *inte* innehålla ett x, och därmed bilda konstanttermen? Jo, endast den kombination som är produkten av alla nollställen: (-a)(-b)(-c) = -abc. Detta är alltså lika med 6 i ditt exempel. Så nollställena är faktorer till konstanttermen, och därför prövar man faktorerna för att hitta nollställen.
Smutstvätt skrev:Det låter som att du pratar om rationella rotsatsen/rotkriteriet/rottestet / satsen om rationella rötter (kärt barn har många namn). Här finns en förklaring av satsen. :)
Tack så hemskt mycket. Det var allt jag behövde :)
Skaft skrev:Ett mindre rigoröst sätt att tänka på detta:
Du har nog sett att polynom också kan skrivas som en produkt, med hjälp av dess nollställen. Om vi tar ditt tredjegradspolynom som exempel, och kallar nollställena a, b och c så kan f(x) uttryckas:
Tänk sen att vi utvecklar parenteserna med vanliga distributiva lagen, dvs bildar alla kombinationer av termer mellan parenteserna. Vilka kombinationer kommer *inte* innehålla ett x, och därmed bilda konstanttermen? Jo, endast den kombination som är produkten av alla nollställen: (-a)(-b)(-c) = -abc. Detta är alltså lika med 6 i ditt exempel. Så nollställena är faktorer till konstanttermen, och därför prövar man faktorerna för att hitta nollställen.
Jaha, det var ju inte så mycket mer avancerat än så. Tack :)
Smutstvätt skrev:Det låter som att du pratar om rationella rotsatsen/rotkriteriet/rottestet / satsen om rationella rötter (kärt barn har många namn). Här finns en förklaring av satsen. :)
Hej igen, jag förstod allt från och med första raden fram till när de börjar motiverar att eftersom VL är delbart med p så måste även HL vara delbart med p. Då uppstår bekymmer för mig. Hur vet de det? Det är mellan rad 7-8 som jag blir lite förvirrad helt enkelt. Tack på förhand!
