Kluven problemlösning jag inte lyckas lösa

Hej! Jag har suttit sen klockan 00:00 och försökt få fram svaret på en provfråga jag hade i skolan för ett par veckor sedan. Det handlar om Kapitel 2 i Matte 3b (Derivata). Har försökt använda mig av derivatans definition precis som frågan antyder, men är osäker på ifall jag får fram rätt svar. Känns väldigt osäkert och inte fått svar på mitt prov ännu.

Mitt slutgiltiga svar var 2a + b. Skrev upp talet från början på följande sätt:

- (a(a+h)²+ b(a+h) + c) - (a * a²) + (b * a ) + C) / H. Jag förenklade sedan tallinjen och som ni såg använde mig av formeln tillsammans med andragradsekvationen två gånger. Min plan senare var att öppna parenteserna från och med att det första minustecknet börjat på tallinjen och gjorde det genom att ersätta alla plustecken med minustecken. Jag blev sedan lite vilse. Jag ställde upp talet på följande sätt: h(ah + 2a + bh) / h och tog sedan ut h:et i täljaren (B * H) och i nämnaren. Jag använde mig sedan av LIM H -> 0 och därefter fick jag fram 2a + b. Det är ju en linjär funktion men inte riktigt säker ifall allt gick rätt till. Uppskattar svar och hjälp :)

Frågan lyder:

Visa med hjälp av derivatans definition att derivatan till varje andragradsfunktion är
en linjär funktion.

Du använder både $a$ som punkten $x=a$ i derivatans funktion och som koefficient för $x^2$ . Det skapar en hel del problem, och risk för fel. Du har i grunden gjort rätt, men det är några mindre fel emot slutet. Du får ej $bh^2$ och du har blandat ihop punkten $x=a$ och koefficienten $a$ och ej visat att svaret är linjärt i, i ditt fall, $a$ och, pga. samma $a$ för koefficienten glömt denna.

Gör så här istället:

Låt $f(x)=ax^2+bx+c$ .

Studera

$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Då
$f(x+h)-f(x)=a(x+h)^2+b(x+h)+c-(ax^2+bx+c)=a(x^2+2xh+h^2)+bx+bh+c-ax^2-bx-c=$

$ax^2+2axh+ah^2+bx+bh+c-ax^2-bx-c=2axh+ah^2+bh=h(2ax+ah+b)$
är
$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h(2ax+ah+b)}{h}=\lim_{h\to0}(2ax+ah+b)=2ax+b$
vilket är en linjär funktion i $x$ .

Lucasaf skrev:
[...]
Mitt slutgiltiga svar var 2a + b. Skrev upp talet från början på följande sätt:
- (a(a+h)²+ b(a+h) + c) - (a * a²) + (b * a ) + C) / H.
[...]
Frågan lyder:
Visa med hjälp av derivatans definition att derivatan till varje andragradsfunktion är
en linjär funktion.

Hej och välkommen till Pluggkuten!

EDIT - såg inte att du redan fått svar när jag hade skrivit klart.

Det ser inte rätt ut. Du verkar ha använt a istället för x när du ställde upp differenskvoten och så saknar du några parenteser i täljaren.

Du borde ha gjort så här:

Låt $f(x)=ax^2+bx+c$ vara en godtycklig andragradsfunktion.

Då är $f(x+h)=a(x+h)^2+b(x+h)+c=$

$=a(x^2+2hx+h^2)+b(x+h)+c=$

$=ax^2+2ahx+ah^2+bx+bh+c$

Differenskvoten $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ blir då $\frac{ax^2+2ahx+ah^2+bx+bh+c-(ax^2+bx+c)}{h}=$

$=\frac{ax^2+2ahx+ah^2+bx+bh+c-ax^2-bx-c}{h}=$

$=\frac{2ahx+ah^2+bh}{h}=$

$=\frac{h(2ax+ah+b)}{h}=2ax+b+ah$

Nu kan du låta $h$ gå mot $0$ och efrersom termen $ah$ då går mot $0$ så blir resultatet f'(x)=ax+b $f'(x)=2ax+b$ .

EDIT - Korrigerade skrivfel på sista raden.

Yngve skrev:

Nu kan du låta $h$ gå mot $0$ och efrersom termerna $ah$ då går mot $0$ så blir resultatet $f'(x)=ax+b$ .

Tack så mycket för hjälpen! Varför blir det f'(x) = ax + b och inte f'(x) = 2ax + b?

Lucasaf skrev:

Tack så mycket för hjälpen! Varför blir det f'(x) = ax + b och inte f'(x) = 2ax + b?

Det blir det inte. Du har rätt och jag skrev fel.

Tack för påpekandet 👍

Svara

Visa senaste svar