Kluringtråden

Lirim.K skrev :

Hej,

I tidigare pluggakuten.se så har vi (där går jag under användarnamnet FabledIntegral) haft en tråd där man lägger upp lite klurigare matematiska problem som allmänheten får lösa. Den förste som löser kluringen får i sin tur posta en ny uppgift som någon annan ska lösa osv. Denna tråd har inget med läxhjälp att göra utan detta är för hobbymatematiker som vill fördriva sin tid, alltså behöver man inte visa hur man själv har försökt utan dem som svarar får ge fullständiga lösningar på problemen. Jag börjar med en lite enklare uppgift av geometrisk karaktär:

Problem: En rät cirkulär kon har radien 1 l.e och höjden 3 l.e. En kub inskrives i konen så att en av dess sida ligger på konens bottenyta och alla fyra övre hörn tangerar konen i dess mantelyta. Hur lång är kubens sida?

 Snabskiss ger att sidan är 6/5 l.e.

Hej Yngve,

Ditt svar är nära men det är inte rätt. Hur ser din skiss ut?

Lirim.K skrev :

Hej Yngve,

Ditt svar är nära men det är inte rätt. Hur ser din skiss ut?

 Nej nu när jag ser min egen skiss så ser jag att det är fel.

 Det blir 6/(5*rotenur(2))

Nej :P Är det första kaffekoppen som saknas? Iväg och injicera lite koffein och vänligen försök igen :)

---

Lirim.K skrev :

Nej :P Är det första kaffekoppen som saknas? Iväg och injicera lite koffein och vänligen försök igen :)

 Haha. Tack för omtanken. Nu har jag druckit kaffe, flyttat mig till datorn och gjort en ny skiss.

Jag får att sidlängden är $\frac{3\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$

Yngve skrev :

---

Lirim.K skrev :

Nej :P Är det första kaffekoppen som saknas? Iväg och injicera lite koffein och vänligen försök igen :)

 Haha. Tack för omtanken. Nu har jag druckit kaffe, flyttat mig till datorn och gjort en ny skiss.

Jag får att sidlängden är $\frac{3\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$

 Sa ju att kaffet var problemet :) Korrekt svar. Går även att svara $\frac{9\sqrt{2}-6}{7}$. Använde du dig av likformighet eller? Din tur med ett nytt problem :)

Lirim.K skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

---

Lirim.K skrev :

Nej :P Är det första kaffekoppen som saknas? Iväg och injicera lite koffein och vänligen försök igen :)

 Haha. Tack för omtanken. Nu har jag druckit kaffe, flyttat mig till datorn och gjort en ny skiss.

Jag får att sidlängden är 323+2

 Sa ju att kaffet var problemet :) Korrekt svar. Går även att svara 92-67. Använde du dig av likformighet eller? Din tur med ett nytt problem :)

Nej jag fortsatte med mina skisser, fast nu räknade jag rätt :-)

Ny kluring, även den av det enklare slaget (med ålder menar vi för enkelhetens skull antal hela år man har levt):

Prästen och kyrkvaktmästaren satt i sakristian och småpratade om hur fort tiden går och om hur mycket de varit med om i sina liv.

Utanför fönstret passerade tre församlingsbor.
- Jag är precis hälften så gammal som deras sammanlagda ålder, sa prästen, och om man multiplicerar deras åldrar med varandra så blir resultatet 2450. Hur gammal är jag?

Kyrkvaktmästaren funderade en stund.
- Det går inte att räkna ut, sa kyrkvaktmästaren, jag måste få veta mer.

- Jag är äldst av oss alla, sa prästen.

Då kunde vaktmästaren lösa problemet.
Hur gammal är prästen?

Kalla de tre församlingsbornas åldrar för $a,b$ respektive $c$. Kalla prästens ålder för $p$. Då gäller följande system av ekvationer:

 $\left\{\begin{array}{ll}\frac{a+b+c}{2}& =p\\ a·b·c& =2450\end{array}\right.$

Eftersom vi har tre variabler och endast två ekvationer så är systemet inte ännu lösbart. En primtalsfaktorisering av 2450 är $7·7·5·5·2$.  Detta ger flera olika möjligheter till deras åldrar. Testar man varje ålders uppsättning för sig i ekvationssystemet ovan får man till slut det korrekta värdet på variablerna:

$$\begin{gathered} a=35 \\ b=35 \\ a=2 \end{gathered}$$

Detta medför att prästens ålder är

$\frac{35+35+2}{2}=36$år

 Detta är den enda kombinationen av åldrar som gör att prästens information om att han är äldst av alla håller.

EDIT: Är det någon som vet hur man gör multiplikationstecknena som \cdot? Och inte som skalärmultuplikationstecken som jag har gjort ovan?

I flik nummer två i Wiris finns det en fin liten prick, fast jag tror att den är skalärprodukt: $·$

smaragdalena skrev :

I flik nummer två i Wiris finns det en fin liten prick, fast jag tror att den är skalärprodukt: $·$

 Det fungerade jättebra med den. Tack ska du ha, smaragdalena!

Lirim.K skrev :

... prästens ålder är ... 36år

 

Det stämmer.

Din tur igen.

Problem: En pil kastas slumpmässigt mot en kvadratisk måltavla. Under antagandet att vilka två punkter som helst på måltavlan har lika stor sannolikhet att bli träffade, bestäm exakt sannolikheten för att pilen träffar en punkt närmare till centrum än till någon sida/kant av måltavlan.

Hint: Antag att hörnen på måltavlan ges av $\left(\pm 1,\pm 1\right)$.

Menar du sannolikheten givet att pilen överhuvudtaget träffar tavlan?

Man ska alltså definiera en yta vars gränslinje överallt är 50% av (mitt emellan) avståndet till centrum och till närmaste sida. Om det blir en cirkel (osäker just nu) är svaret förhållandet mellan cirkeln yta och det som då återstår av kvadratens yta (kvadratens yta - cirkelns yta). Cirkelns yta är (kvadratens sida / 4)${}^2$ x pi . Kvadratens yta är (kvadratens sida)${}^2$. Förhållandet är 1/16$\mathrm{\pi }$ = 0.196. Låter lite lite tycker jag.

Låt ytan istället vara en kvadrat med sidan kvadratens sida / 2. Förhållandet blir då (s/2) x (s/2) / s2 = 1/4. Låter mer rimligt.

Yngve skrev :

Menar du sannolikheten givet att pilen överhuvudtaget träffar tavlan?

 Nej. Det är antaget att pilen träffar tavlan med ett träffutfall på 100%. Jag menar att när pilen träffar det kvadratiska målet, säg i den godtyckliga punkten (x,y). Vad är sannolikheten att denna punkt befinner sig närmre centrum av måltavlan än vad den befinner sig någon av måltavlans fyra kanter? Hänger du med på vad som sökes? Lite svårt att formulera mig känner jag men den som känner sig manad får försöka omformulera frågeställningen.

PeterÅ skrev :

Man ska alltså definiera en yta vars gränslinje överallt är 50% av (mitt emellan) avståndet till centrum och till närmaste sida. Om det blir en cirkel (osäker just nu) är svaret förhållandet mellan cirkeln yta och det som då återstår av kvadratens yta (kvadratens yta - cirkelns yta). Cirkelns yta är (kvadratens sida / 4)${}^2$ x pi . Kvadratens yta är (kvadratens sida)${}^2$. Förhållandet är 1/16$\mathrm{\pi }$ = 0.196. Låter lite lite tycker jag.

Låt ytan istället vara en kvadrat med sidan kvadratens sida / 2. Förhållandet blir då (s/2) x (s/2) / s2 = 1/4. Låter mer rimligt.

 Bra PeterÅ, tankegången i det du skriver är helt rätt! Men det blir inte en cirkel tyvärr, så ditt svar är fel (men ganska nära det faktiska värdet :) ) 

EDIT: Ytan är heller inte en kvadrat utan något lite "mittemellan" cirkel och kvadrat :P Så du har nu två svar.

Hint: Låt säga att det korrekta svaret är $p$, då gäller det att $1/4 >p>\mathrm{\pi }/16.$

Ok, det blir en "kvadrat" vars hörn är avrundade inåt för att avståndet till centrum alltid ska vara 50% av yttre kvadratens sida. Vad en sådan figur heter vet jag inte. Antar att man kan dela upp den i mindre beståndsdelar och summera ytorna.
Blir väl en integral som jag kunde räkna på för ca 45 år sedan :)

Enligt min bild blir det fyra parabel typ $y=\frac{1-x^2}{2}$som möts på kvadratens diagonaler. Räknar jag resten rätt får man sannolikheten $\frac{4\sqrt{2}-5}{3}$

"mittemellan": Medelvärdet av ytan av cirkeln och kvadraten=(1/4 + pi/16) / 2 = 0.223

Det ser ut att jag behöver förklara mina parabel. Ta kvadranten mellan diagonalerna y=x och y=-x och positivt y. Kvadraten av avståndet till origo är $x^2 + y^2$, kvadraten av avståndet till sidan y=1 är $(1-y{)}^2$. Ekvationen för kurvan som begränsar området närmare origo än den närmaste sidan (y=1) är då 

... $x^{¨2} + y^2 = (1-y{)}^2$, vilket ger den påstådda parabeln. Och förresten 0,223 ligger nära

$\frac{4\sqrt{2} -5}{3} \simeq 0,219$

pbadziag skrev :

... $x^{¨2} + y^2 = (1-y{)}^2$, vilket ger den påstådda parabeln. Och förresten 0,223 ligger nära

$\frac{4\sqrt{2} -5}{3} \simeq 0,219$

 Fint! Ditt svar stämmer bra och det är precis så den ytan ser ut som är något av ett mellanting av cirkeln och kvadraten :) Din tur med ett problem.

pbadziag, kommer du på en kluring till oss eller? Meddela gärna om inte så kanske jag eller någon annan kan kliva in emellan :)

En lite annorlunda kluring i väntan på pbadziag ...

Denna bild är tagen med zoomobjektiv från östra sidan av Lidö utanför Norrtäljeviken en ovanligt klar dag. Vi ser ut över Havssvalget och har norra Gisslingö till höger på bilden. Färjan långt borta syns bara delvis på grund av jordens rundning vilken inte är helt obetydlig även på dessa relativt små avstånd. Bortom färjan finns Åland.

Hur långt borta är färjan på bilden? Du kan förstora bilden genom att till exempel hålla nere Ctrl och rulla på mushjulet. Återgå till normal zoom med Ctrl-0 (noll)

Förutsättningar:
1. Min höjd över havet på Lidö är 10 meter.
2. Färjan vi ser är Silja Europa.

Kan uppgiften lösas utan att ta reda på extern information själv? (Information utanför detta inlägg)

Har du provat att lösa uppgiften? Tips: Rita!

PeterÅ skrev :

Har du provat att lösa uppgiften? Tips: Rita!

 Ska göra ett seriösare försök antingen under lunchrasten eller när jag kommer hem senare ikväll. Återkommer.

Ledtrådar finns om man kör fast

PeterÅ skrev :

Ledtrådar finns om man kör fast

 De är välkomna. Det känns som man har för lite information. Vill du ha avståndet fågelvägen (genom vattnet pgs jodens krökning) eller är det längsmed jordytan som gäller. Varför är färgmodellen en avgörande förutsättning? Det måste ju betyder att jag behöver leta information angående färgans dimensioner på en extern källa.

Om du t.ex. inte kan värdet på pi utan måste ta reda på det på något sätt, är det "extern" info då?
I denna uppgift behöver du veta en storlek på Silja Europa eller motsvarande färja.

Jag vill veta avståndet som man ser det på bilden, "fågelvägen" (inte genom vattnet utan ovanför).

Detta är ett exempel som är starkt kopplat till verkligheten och som jag anser är nyttig träning på verkliga situationer man kan komma att behöva använda sina mattekunskaper till.

PeterÅ skrev :

Om du t.ex. inte kan värdet på pi utan måste ta reda på det på något sätt, är det "extern" info då?
I denna uppgift behöver du veta en storlek på Silja Europa eller motsvarande färja.

Jag vill veta avståndet som man ser det på bilden, "fågelvägen" (inte genom vattnet utan ovanför).

Detta är ett exempel som är starkt kopplat till verkligheten och som jag anser är nyttig träning på verkliga situationer man kan komma att behöva använda sina mattekunskaper till.

 Nja, pi kan man bara slå in i en räknare eller även svara med pi i sitt svar.

Men jag håller med dig. Man kan komma behöva sina mattekunskaper i en sådan här situation då man t.ex. är strandsatt på en öde ö, men då får man även se till att man har 4G och en smartphone så att man kan Googla upp färjans dimensioner.

En fråga bara: Om du alltså vill ha avståndet längsmed vattenytan, så innebär det att detta avstånd inte är en rät linje utan en kurvad linjes längd som man ska ta reda på?

Håller med om att avståndet egentligen är en båge efter vattenytan men i detta exempel är det en rät linje, kortast möjliga väg ovanför vattenytan.

Håller man en linjal ca 90 mm framför ögonen så ser man att båten är ca 3 mm hög, om man tar hänsyn till att lite har försvunnit under jordens krökning. I verkligheten så är båten 53 000 mm och x km ifrån observatören. Detta ger förhållandena

$\frac{53000}{x}=\frac{3}{900}\iff x=15900000 mm = 15,9 km.$

Det var ju en intressant angreppsvinkel 🙄. Bilden är tagen med ca 16ggr zoom.

Vad får du med Pythagoras?

PeterÅ skrev :

Det var ju en intressant angreppsvinkel 🙄. Bilden är tagen med ca 16ggr zoom.

Vad får du med Pythagoras?

Jag ritade massa men kom aldrig till skott med att använda Pythagoras. Fick ju aldrig veta någon "slant range" eller hypotenusa.

EDIT: Sen att bilden är tagen med 16X zoom förändrar ju läget en aning, förutsatte att det inte var någon zoom alls :P Då måste ju den vara betydligt längre bort.

Att bilden var tagen med zoomobjektiv var klargjort från början.

Hypotenusan och en av sidorna har du redan.

I många fall som detta måste man upprepa RITA!

Varför har alla sådant motstånd mot att rita upp situationen?

Redan ritat flera gånger men det sa mig inte så mkt så jag måste har ritat fel.

Du har hypotenusan och en av sidorna ...
Tänk större ... jordens radie ...

Då blir både kateten och hypotenusan lika med jordens radie vilket medför att triangeln inte blir en rätvinklig sådan.

Nej, hypotenusan blir längre ....

För ena höjden. Andra triangeln blir spegelvänd.

PeterÅ skrev :

För ena höjden. Andra triangeln blir spegelvänd.

 Det var exakt så jag ritade figuren och när jag räknade med Pythagoras så använde jag hypotenusan med längden 6371000 + 53 m (som är radien + höjden på färjan) och kateten 6371000 + 10 m som är radien + observatörens ögonhöjd. Det gav ett avstånd på ca 23,4 km. Men jag tycker att uppgiften kräver för många parametrar man ska ta reda på själv och dessutom så är det egentligen inte korrekt att avståndet ges av den lilla kateten. Jo, det är väl en approximation av längden men att man ska behöva anta att det ungefär blir en rätvinklig triangel tyckte jag inte riktigt om. Men intressant uppgift icke desto mindre :)

Ser man hela färjan, eller är underdelen skymd p g a jordytans krökning? (Man har ju hört talas om att man ser masttopparna på ett stort segelfartyg långt innan man ser själva båten.)

Som det står i introduktionen till denna kluring: Du kan förstora bilden ...

Lirim: Du är på rätt spår men precis som med smaragdalena behöver ni analysera bilden ...
Vad är det ni ser? Vad är det ni inte ser?

PeterÅ skrev :

Lirim: Du är på rätt spår men precis som med smaragdalena behöver ni analysera bilden ...
Vad är det ni ser? Vad är det ni inte ser?

 Hehe, jag lovar dig att jag har tittat på bilden flera gånger. Jag måste vara blind eller något för det enda jag ser är blå himmel, blå vatten, Åland till höger om bilden och en färja till vänster vars undre del inte syns. Så jag antar att det vi inte ser är hela färjan, dvs alla 53m?

Precis! Hur mycket (hur många meter) kan man inte se på bilden?

Förtydligande: Titta på bilden. Färjan ser ut som om den håller på att sjunka. Hur mycket har den sjunkit. Hur mycket kan du fortfarande se?

Kan se cirka hälften av den. Kanske en 25m. Bör jag då lägga till 25m på radien ist för 53m menar du då?

Bra! Jag räknar med att man ser ca 20 m. Det jag inte ser räknar jag som 30m.

Jaha okej! Om man då räknar med mina 25 m så får jag att distansen $d$ är

     $d=\sqrt{(r_{jorden}+25{)}^2-(r_{jorden}+10{)}^2}=\sqrt{{6371025}^2-{6371010}^2}=15\sqrt{849469}\approx 13825m.$

Alltså ganska nära det svar jag hade i början med linjal metoden. Vet du vad det faktiska exakta avståndet är?

Avståndet från vattenytan till fartyget enligt triangeln:
$$\begin{gathered} a^2=\hspace{0.17em}r{j}^2+(r{j}^2+30) \\ Frånvatteny\tan tillön: \\ {b}^2=\hspace{0.17em}r{j}^2+(r{j}^2+10) \end{gathered}$$

EDIT: Bortse från ovanstående.

Från vattenytan? Du menar från observatören va? Vattenytan är ju lite överallt.

Nytt problem:

I en rektangel är kortsidan $s$ och långsidan $s\sqrt{2}$. Hur stor är radien i den största halvcirkel som kan inskrivas i rektangeln?

En liten förtydling angående kameratekniken:

Det som spelar roll här är perspektivet, inget annat. Brännvidden är ointressant. "16 gånger zoom" är inte bara ointressant utan ett uttryck utan betydelse när det tas ur sitt sammanhang.

Perpektivet är via ett zoomobjektiv, alltså kan inte "linjalmetoden" eller liknande användas.

Avståndet fås via 3.852 x ($\sqrt{h1m}+\sqrt{h2m}$) km.

Nej, om diametern på halvcirkeln är parallell med någon av sidorna så är inte dess area, och till följd, radie maximal.

Svaret är att det inte går. Om halvcirkeln ska vara inskriven måste den väl per definition tangera alla sidor i rektangeln?

_Elo_ skrev :

Svaret är att det inte går. Om halvcirkeln ska vara inskriven måste den väl per definition tangera alla sidor i rektangeln?

 Det kommer den att göra :) Men diametern behöver fortfarande inte vara parallell med en av sidorna för att halvcirkeln ska tangera rektangeln i alla sidor.

Annars händer det att jag använder approximationen för jordens krökning K

$$\begin{gathered} K=0,2(\frac{d}{1.6}{)}^2 \\ d är avståndet i km \\ K är krökningen i m \end{gathered}$$

Hint till ny uppgift:

Fortsätt rita lite mer nu.

Affe Jkpg skrev :

Annars händer det att jag använder approximationen för jordens krökning K

$$\begin{gathered} K=0,2(\frac{d}{1.6}{)}^2 \\ däravståndetikm \\ Kärkrökningenim \end{gathered}$$

 Exempel

$$\begin{gathered} K=25+ungefär10\approx 35m \\ d\approx 21km \end{gathered}$$

Sedan finns det betydande optiska fenomen utmed en vattenyta, som gör att man kan se skepp på betydligt längre/kortare avstånd, än man räknat ut från en enkel geometrisk modell.

Den vedertagna formeln inom sjöfart är $2.08(\sqrt{h1}+\sqrt{h2})$ nautiska mil (sjömil).
Det är 18M eller 33.3 km.

PeterÅ skrev :

Den vedertagna formeln inom sjöfart är $2.08(\sqrt{h1}+\sqrt{h2})$ nautiska mil (sjömil).
Det är 18M eller 33.3 km.

 Jaha... med h1 och h2 under separata rottecken! Annars var de två formlerna nästan likalydande

Man kommer fram till den formeln med hjälp av Pythagoras (med en viss approximation).

Affe Jkpg skrev :

Annars händer det att jag använder approximationen för jordens krökning K

$$\begin{gathered} K=0,2(\frac{d}{1.6}{)}^2 \\ däravståndetikm \\ Kärkrökningenim \end{gathered}$$

Affe: Angående din formel, har du sett denna sida (de har till och med stulit min bild)?
http://jorden.info
http://jorden.info/den-matbara-icke-krokningen-av-den-platta-jorden

Lirim.K skrev :

Hint till ny uppgift:

Fortsätt rita lite mer nu.

Det handlar om en omskriven triangel. Massor med obekanta. Vinkeln DC-FC torde vara 22.5 grader i alla fall. Triangeln FB-AB är på något sätt relaterad och hittar man den relationen så har man absoluta mått. Eller inte ...

Man kan till att börja med anta att $s=1$, utan inskränkning på generalitet eftersom man i slutet kan multiplicera den erhållna radien med valfritt värde på $s$. Ritar en ny figur, det enda viktiga som egentligen behövs är detta. 

Snyggt, Lirim. Varför klarade du inte Pythagoras då?

Jag har ju inte visat lösningen till uppgiften ännu, detta var en hint. Men du kanske menar att figuren är snygg, tack i så fall :) Vad menar du?

Jag menar att du är extremt duktig på matematiska konstruktioner.

PeterÅ skrev :

Affe Jkpg skrev :

Annars händer det att jag använder approximationen för jordens krökning K

$$\begin{gathered} K=0,2(\frac{d}{1.6}{)}^2 \\ däravståndetikm \\ Kärkrökningenim \end{gathered}$$

Affe: Angående din formel, har du sett denna sida (de har till och med stulit min bild)?
http://jorden.info
http://jorden.info/den-matbara-icke-krokningen-av-den-platta-jorden

 Haha...verkar vara nått sånt där akademiskt jippo :-)

Ett försök att reda ut den maximala ytan för den inskrivna halvcirkeln.

1. För långsidan fås: $r+r·\cos v=s·\sqrt{2}$

2. För kortsidan fås: $r+r·\sin v=s$

1. ger $\cos v=\frac{s·\sqrt{2}-r}{r}$

2. ger $\sin v=\frac{s-r}{r}$

Sätt in ovanstående uttryck i:  ${\cos }^{2}v=1-{\sin }^{2}v$

Då fås ${\left(\frac{s·\sqrt{2}-r}{r}\right)}^2=1-{\left(\frac{s-r}{r}\right)}^2$

Följande ekv fås: 

$$\begin{gathered} r^2-r·2·s·\left(\sqrt{2}+1\right)+3·s^2=0 \\ r=s·\left(\sqrt{2}+1\right)\pm s·\sqrt{2+1+2·\sqrt{2}-3} \\ {r}_1=s·\left(\sqrt{2}+1-\sqrt{2·\sqrt{2}}\right) \\ {r}_2=s·\left(\sqrt{2}+1+\sqrt{2·\sqrt{2}}\right) \\ {r}_1\approx 0.7324·s \\ {r}_2\approx 4.0960·s \end{gathered}$$

Använd $r_1$ för areaberäkningen av halvcirkeln.

Snyggt jobbat! Ditt svar är rätt och du behöver inte räkna ut arean för uppgiften är redan löst. Du kan dock i början införa restriktion på $v$. Från figuren ser man att $0\le v\le \mathrm{\pi }/2$. Semicirkeln är endast inskriven i rektangeln då

     $\left\{\begin{array}{l}r+r·\sin \left(v\right)\le s\\ r+r·\cos \left(v\right)\le s\sqrt{2}\end{array}\right.$     $\iff$     $\left\{\begin{array}{l}r\le \frac{s}{1+\sin \left(v\right)}=s·f\left(v\right)\\ r\le \frac{s\sqrt{2}}{1+\cos \left(v\right)}=s·g\left(v\right)\end{array}\right.$

Man ser (av matematisk vana eller av derivata) att i intervallet $0\le v\le \mathrm{\pi }/2$ så är $f\left(v\right)<0$ och $g\left(v\right)>0$. Största värdet av $r$ fås när $r=s·g\left(v\right)=s·f\left(v\right)$. Man kan sedan lösa ut cos eller sin i en andragradsekvation och på grund av restriktionen på $v$ så väljer man det värde som du valt, $r_1$.

Bra! Din tur med att posta ny uppgift.

Intressant uppgift. Jag kommer fram till att parallelltrapetsen är av Isosceles typ och att parallellsidan ska vara 3 gånger som stor som en av kortsidorna, eller alternativt uttryckt, parallellsidan utgör 60% av staketlängden. Stämmer detta?

Maggropskänslan säger att alla tre sidor ska vara lika långa, dvs parallellsidan ska utgöra 1/3 av staketlängden.

Jag tänker då att den ideala hagen ("max yta per staketlängd") är en halvcirkel. Men med givna begränsningar på 3 raka staketsegment så är en halv liksidig sexhörning den bästa approximationen av en halvcirkel.

Hej!

Helt rätt tänkt Yngve! Bra att utgå från halvcirkeln och lista ut den halva liksidiga sexhörningen. Har du Yngve någon ny kluring annars har jag en till på lager.

Nä jag har ingen på lager. Ta en till du.

Likformighet ger att

     $x=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\approx 0,531.$

Svaret är rätt. Har du även någon stegvis förklaring hur du kommit fram till det riktiga svaret?

Det gäller att $DE=1-x$, $CD=\sqrt{1-{\left(1-x\right)}^2}$, med en skälig restriktion $0<x<1$. De två rätvinkliga trianglarna $ABC$ och $CDE$ är likformiga. Likformighet ger, genom division av kateterna

     $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}\iff \frac{1}{1-x}=\frac{1+\sqrt{1-\left(1-x\right)^2}}{\sqrt{1-\left(1-x\right)^2}}\iff x\sqrt{-x(x-2)}=\frac{1-x}{x}.$

Kvadrering av båda led och lite städ ger

     $x^4-2x^3+x^2-2x+1=0$.

Newton Raphson (eller Wolfram Alpha) ger 

     $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=0.5310100565\\ x_2=1.8832035063\end{array}\right.$

Eftersom $x_1$ är den enda roten som uppfyller restriktionen så måste det vara roten som vi söker.

PS: Hur man algebraiskt härleder roten på exakt form vet jag inte, lyckades inte faktorisera eftersom det är svårt att gissa en rot. Tror att man måste använda sig av detta: https://sv.wikipedia.org/wiki/Fj%C3%A4rdegradsekvation, och sådana mödosamma saker har jag inte tid med.

EDIT: finns det enklare metoder är dem välkomna!

Fjärdegradsekvationen är inte rätt. Men approximativa lösningarna är riktiga. Om du får till fjärdegradsekvationen rätt så ska det gå att plocka fram den exakta lösningen med ett litet trick.

Missade skriva in -2x termen. Fixat nu. Vad är tricket?

Försök att få kvadraten på en andragradsekvation som ger fjärdegradsekvationen. Vad blir kompletteringstermen? Kan du då se hur du kommer vidare!

mattekalle skrev :

Försök att få kvadraten på en andragradsekvation som ger fjärdegradsekvationen. Vad blir kompletteringstermen? Kan du då se hur du kommer vidare!

Ja jag kom till $x(x-2)(x^2+1)=-1$, utför man substitutionen $t=x^2$ så får man att

     $\left(t-2\sqrt{t}\right)\left(t+1\right)=-1.$ 

Denna ekvation har komplexa rötter och VL kan jag inte skriva om till en perfekt kvadrat. Annars blir VL lika med $i$ när jag gjort rotutdragningen. Kommer ej vidare.

Ny uppgift: Sidorna i ett parallellogram är $3$ och $5$. Ena vinkeln mellan diagonalerna är $\mathrm{\pi }/4$ radianer. Beräkna arean. 

Du skall alltså skriva om fjärdegradsekvationen enl. följande:

$(Andragradsekvation{)}^2= ?$

Vad bli Andragradsekvationen innanför parenteserna och vad blir uttrycket i stället för ? så att det stämmer med fjärdegradsekvationen. Försök att se om du kommer vidare då.

Jag får att

     $(a{x}^2+bx+c{)}^2=a^2{x}^4+2ab{x}^3+(2ac+b^2)x^2+2bcx+c^2=x^4-2x^3+x^2-2x+1.$

Identifikation av koefficienter ger

     $\begin{array}{ccc}{a}^2& =& 1\\ 2ab& =& -2\\ 2ac+b^2& =& 1\\ 2bc& =& -2\\ c^2& =& 1\end{array}$     

Men ekvationssystemet saknar lösning, eller det blir konflikterande värden på b.la. konstanen $c$.

EDIT: Ekvationen kan även skrivas

     ${\left(x^2-x\right)}^2=2x-1$.

Du glömde uttrycket som skall sättas in i stället för frågetecknet.

Alltså:$(Andragradsekvation{)}^2-?=Fjärdegradsekvationen$

När du väl fått ut vad uttrycket som skall sättas in i stället för frågetecknet så tror jag att du kommer i mål.

Men om $?=2x-1$ så får jag att

     $(x^2-x{)}^2-2x+1=x^4-2x^3+x^2-2x+1.$

Eller ska frågetecknet vara en konstant?

Försök få in en konstant term också ihop med $x^2-x$ innanför parentesen!

Tror att jag har det nu.

     ${\left(x^2-x+1\right)}^2=2x^2$.

som ger

     $x^2-x+1=x\sqrt{2}\iff x^2-\left(1+\sqrt{2}\right)x+1=0$.

PQ-formeln ger

     $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\\ x_2=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\end{array}\right.$

Tack för att du drog mig in hela vägen i hamn. Det hade inte vart kul att få denna uppgift på ett tidstrångt prov där dem vill att man ska svara på exakt form.

Tack! då var vi klara med denna kluring. $x_1$ ovan är rätt svar. Resterande 3 rötter till fjärdegradaren är oanvändbara här. Bra jobbat.

mattekalle skrev :

Tack! då var vi klara med denna kluring. $x_1$ ovan är rätt svar. Resterande 3 rötter till fjärdegradaren är oanvändbara här. Bra jobbat.

Folk kanske missade den nya kluringen, som jag kanske postade för tidigt. Så jag skriver ner den igen:

Ny uppgift: Sidorna i ett parallellogram är $3$ och $5$. Ena vinkeln mellan diagonalerna är $\mathrm{\pi }/4$ radianer. Beräkna arean. 

Svar:   arean = 8

larsolof skrev :

Svar:   arean = 8

Stämmer. Utveckla?

Tråd klistrad. /moderator

@larsolof

Har du en redovisning för hur du kom fram till ditt korrekta svar? Detta är ju inte något som man enkelt räkar i huvudet.

En noggrann uppritning på ett stort papper ( 3 dm 5 dm) tills vinkeln verkade vara
önskade 45$°$ ($\mathrm{\pi }/4$ rad)  ledde till antagandet att H = 1.6
Sedan kontrollräknade jag längder och vinklar (8 decimalers noggrannhet) vilket i slutändan
gav vinkeln mellan diagonalerna till 45,00000000$°$
så arean = 5 x 1.6 = 8

Antag H = 1.6  $\Rightarrow$ L och a och b
H och B+L $\Rightarrow$ D och c
c och b $\Rightarrow$ d
d och S och D/2 $\Rightarrow$E
D/2 och E och S$\Rightarrow$den sökta vinkeln

Detta skulle fungera bra som en approximation för liknande problem men jag tror inte att du hade fått full pott på uppgiften om den var på ett prov. T.ex. hur hade du löst den om man inte fick använda hjälpmedel i form ag linjal/gradskiva? Hur kunde det leda till antagandet att H=1.6?

Men Intressant och kreativt måste jag säg, du lyckades i alla fall på rätt svar :)

Hint: Använd först areasatsen på de två olika trianglarna för att ange ett uttryck för parallellogramets area. Använd sedan cosinussatsen för att få ett ekvationssystem och kombinera det tidigare resultatet.

Med vektorer blir det så här. a=(5,0), b=(3 cosv, 3 sin v), d1=a+b, d2=a-b, d1*d2/|d1||d2|=1/sqrt(2). Lite räkning ger att sin v=16/30 och alltså arean 5*3*16/30.

Det var en fin lösning Henrik Eriksson! Du eller larsolof får komma med ett nytt problem.

På begäran ger jag er följande Kluring.
Definierar de tal x för vilka följande är sant:
$x^2+1\ge 2^x$
Jag ser fram emot era lösningar :-)

Affe Jkpg skrev :

På begäran ger jag er följande Kluring.
Definierar de tal x för vilka följande är sant:
x2+1≥2x
Jag ser fram emot era lösningar :-)

Jag ger halva lösningen så får ngn annan ge andra halvan 😉

x <= 0

Det gäller också mellan 1 och 4,25746191444793... Inte mycket att bevisa, väl?

I genomsnitt, hur många gånger måste man kasta en tärning innan man får en sexa?

Henrik Eriksson skrev :

Det gäller också mellan 1 och 4,25746191444793... Inte mycket att bevisa, väl?

Kan du presentera en annan lösning än att använda kalkylark och läsa graf?

Henrik Eriksson skrev :

I genomsnitt, hur många gånger måste man kasta en tärning innan man får en sexa?

Det känns naturligt att svaret är 6. Om det är en sex-sidig tärning.
Men hur blir det om man istället skulle räkna på genomsnitt antal kast för att få tex en femma OCH en sexa? (i vilken ordning som helst och vilket antal större än 1 som helst)

Svaret är mycket riktigt 6 men det ska helst bevisas också.

Vill man ha fem och sex tar det i genomsnitt 3 kast att få det ena  och sen 6 kast att få det andra, så svaret är 9.

Det bör vara 18 kast eftersom sannolikheten för en femma och en sexa är 1/18.

HT-Borås skrev :

Det bör vara 18 kast eftersom sannolikheten för en femma och en sexa är 1/18.

Sannolikheten för att få en sexa och en femma är också 1/18, så sannolikheten att få antingen först en femma och sedan en sexa eller  först en sexa och sedan en femma är 2/18 = 1/9.

EDIT: Bortse från detta, jag missförstod uträkningen. Se nedan.

Nej. Vardera sannolikheten är 1/36.

Sannolikheten för att slå en femma eller sexa = 2/6 = 1/3. Väntevärde för att slå antingen femma eller sexa = 3 slag.

Sannolikhet för att få sexa (om man fick femma först) respektive femma (om man fick sexa först ) = 1/6. Väntevärde 6 slag. 

Summa 9 slag, precis som Henrik E skrev. 

Sannolikheten att få en femma och en sexa i vilken ordning som helst på två slag är 1/18, men det känns inte relevant.

OK - jag ger mig. Jag utgick från att man kastade två tärningar.

Affe Jkpg skrev :

Henrik Eriksson skrev :

Det gäller också mellan 1 och 4,25746191444793... Inte mycket att bevisa, väl?

Kan du presentera en annan lösning än att använda kalkylark och läsa graf?

Det går att analysera sig fram via derivata och andraderivata (teckenstudium) av funktionen $f\left(x\right)=x^2+1-2^x$, men man måste ändå använda numeriska metoder för att, utöver de två triviala rötterna $x_1=0$ och $x_2=1$, erhålla den tredje roten $x_3$. Granskar man tecknen på derivata och andra drivata samt identifierar lokala maxima/minima och inflextions punkter så kan man ta fram olika intervall för vilka $f$ avtar eller växer. Det visar sig att olikheten håller för $x\le 0$ eller $1\le x\le x_3$, eftersom $f$ har exakt ett nollställe $x_3$ på intervallet $[1,\infty )$, enligt medelvärdesatsen .

Henrik Eriksson skrev :

I genomsnitt, hur många gånger måste man kasta en tärning innan man får en sexa?

Förstår inte riktigt vad det är som ska bevisas här. Sannolikheten att få en sexa vid kastet är 1/6, alltså 1 på 6. I teorin får man en sexa för varje 6:e kast man gör.

Men det saknas ett resonemang. Om i genomsnitt vart sjätte kast ger en sexa, varför är då genomsnittliga tiden till första sexan 6? Om man kastar ett mynt, varför är genomsnittsantalet kast till första krona 2? Egentligen ska man summera 1*1/2+2*1/4+3*1/8+...och det är inte uppenbart att summan blir 2.

Det är nog så att jag inte förstår ditt resonemang, Henrik, men är det inte bara en statistisk lag som ger svaret på frågan? Vad innebär din summering som du skriver? Jag får nog kasta in handduken för denna kluring.

 Antag att antal förväntade kast innan 6:a är E. Då har vi ekvationen E=1+5/6E (vi har E förväntade kast, efter första kastet så är det 5/6 chans att vi får göra E kast till). Löser vi ekvationen så får vi E=6 som enda lösning (eller möjligen oändligheten, men det låter orimligt i detta fall).

Notera att det inte är helt självklart, om vi visste att det inom en tidperiod på 6 kast måste komma en 6:a så vore förväntade antal kast snarare runt 3-4 (i vårt fall så tas tidiga sexor ut av sena som tar mer än 6 kast).

I fallet med mynt så kan vi göra samma sak, E=1+E/2.

Mycket bra! Serien jag skrev är helt enkelt uppdelning i olika fall: första kronan i kast 1 har sannolikhet 1/2, första kronan i kast 2 har sannolikhet 1/4 osv. Den statistiska lag som Lirim.K känner på sej att den finns, den har jag aldrig sett formulerad, men den låter självklar. "1/2 krona per kast"<=>"2 kast per krona" och "1/6 sexa per kast"<=>"6 kast per sexa".

Henrik Eriksson skrev :

Mycket bra! Serien jag skrev är helt enkelt uppdelning i olika fall: första kronan i kast 1 har sannolikhet 1/2, första kronan i kast 2 har sannolikhet 1/4 osv. Den statistiska lag som Lirim.K känner på sej att den finns, den har jag aldrig sett formulerad, men den låter självklar. "1/2 krona per kast"<=>"2 kast per krona" och "1/6 sexa per kast"<=>"6 kast per sexa".

Kanske borde haft "" runt lag. Men det jag menade var precis det du skriver i din sista mening. Intuitiv självklarhet. Men vad bra att vi fick en lösning. Då är det JohanB's tur att komma med en ny uppgift.

Lirim.K skrev :

Affe Jkpg skrev :

Visa föregående citat

Henrik Eriksson skrev :

Det gäller också mellan 1 och 4,25746191444793... Inte mycket att bevisa, väl?

Kan du presentera en annan lösning än att använda kalkylark och läsa graf?

Det går att analysera sig fram via derivata och andraderivata (teckenstudium) av funktionen $f\left(x\right)=x^2+1-2^x$, men man måste ändå använda numeriska metoder för att, utöver de två triviala rötterna $x_1=0$ och $x_2=1$, erhålla den tredje roten $x_3$. Granskar man tecknen på derivata och andra drivata samt identifierar lokala maxima/minima och inflextions punkter så kan man ta fram olika intervall för vilka $f$ avtar eller växer. Det visar sig att olikheten håller för $x\le 0$ eller $1\le x\le x_3$, eftersom $f$ har exakt ett nollställe $x_3$ på intervallet $[1,\infty )$, enligt medelvärdesatsen .

Jag ser fram emot att se den numeriska metod som löser $x_3$ :-)

Med Newton-Raphson tog det tre iterationer att få sexton siffror.

Ser ingen mening till att ödsla tid på det när jag kan klicka in det i wolfram alpha eller annan valfri matematisk mjukvara.

Hembakat smakar alltid bäst.

Ursäkta för OT men upptäckte precis att Mattecentrum länkar till den här tråden på deras officiella twitter-konto:

https://twitter.com/Mattecentrum/status/839079915316183040

statement skrev :

Ursäkta för OT men upptäckte precis att Mattecentrum länkar till den här tråden på deras officiella twitter-konto:

https://twitter.com/Mattecentrum/status/839079915316183040

Ytterligare incitament för att hålla tråden vid liv! Eftersom ingen verkar komma med ett nytt problem så slår jag till.

Problem: Antag att $f$ är kontinuerlig på $\left[0,2\right]$ så att $f\left(0\right)=f\left(2\right).$ Visa att det finns ett reellt tal $\xi \in \left[1,2\right]$ med villkoret att $f\left(\xi \right)=f\left(\xi -1\right).$

g(x)=f(x)-f(x-1) är kontinuerlig, definierad på [1,2] och g(1)=-g(2). Kontinuerliga funktioner antar alla mellanliggande värden, i detta fall bland annat värdet noll, och $g(\xi)=0\ \Rightarrow\ f(\xi)=f(\xi -1)$.

Nytt problem: Hur långt kan man gå åt nordväst?

Henrik Eriksson skrev :

Nytt problem: Hur långt kan man gå åt nordväst?

Åh nej, inte igen! ;-) 

*minns ned bävan fruktlösa diskussioner om punktformade kompasser med telepatisk förmåga*

Henrik Eriksson skrev :

g(x)=f(x)-f(x-1) är kontinuerlig, definierad på [1,2] och g(1)=-g(2). Kontinuerliga funktioner antar alla mellanliggande värden, i detta fall bland annat värdet noll, och $g(\xi)=0\ \Rightarrow\ f(\xi)=f(\xi -1)$.

Enkelt och fint :) Enda insikten som behövs för att lösningen ska vara uppenbar är just att alla kontinuerliga funktioner måste anta mellanliggande värden, som direkt följer ur medelvärdessatsen.

Till din nya uppgift: Frågan känns lite för "omatematisk" i den mening att man måste börja anta vad du exakt menar med frågeställningen. Nordväst på jorden kan du gå i oändlighet eftersom det bara blir att du går en cirkels omkrets hela tiden. Men du vet nog varför du har ställt frågan och det finns väl en tolkning på problemet som gör lösningen till en väldigt matematisk sådan. Dock ser jag inte någon sådan tolkning just nu.

En ledning, testa att ställa dig någonstans på klotet (utom polen) och ta ett litet steg åt nordväst. Hur ser nordväst ut i din nya position? (På sydpolen kan det vara svårt att ta ett steg åt nordväst eftersom alla steg leder rakt norrut).

Den här tråden skulle behöva en spoilerfunktion btw.

Edit: Test av hemmagjord spoilerfunktion. Markera texten mellan linjerna för att läsa

_______________________________________________________

[color=white]Hello, world.[/color]

$Hello{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}w}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}o}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}r}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}l}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}d}$

_______________________________________________________

Guggle skrev :

En ledning, testa att ställa dig någonstans på klotet (utom polen) och ta ett litet steg åt nordväst. Hur ser nordväst ut i din nya position? (På sydpolen kan det vara svårt att ta ett steg åt nordväst eftersom alla steg leder rakt norrut).

Det beror helt på hur din ursprungliga orientering är relativt jordens nordpol. Antag att jag tittar rakt mot nord i början, tar jag ett steg sidledes mot nordväst men men fortfarande behåller min blick mot nord så fungerar det på samma koncept som ett kompass. Skulle jag dock förkjuta min blick så att den hamnar till vänster om nord så förändras riktningen jag måste ta för att nästa steg ska vara nordväst osv så jag kommer typ gå i en båge/spiral efter ett visst antal steg. Detta sker eftersom när jag är på min nya position så kommer nord vara lite höger om min blick istället för rätt framför.

EDIT: Din spoler fungerar inte :P

Lirim.K skrev :

Det beror helt på hur din ursprungliga orientering är relativt jordens nordpol. Antag att jag tittar rakt mot nord i början, tar jag ett steg sidledes mot nordväst men men fortfarande behåller min blick mot nord så fungerar det på samma koncept som ett kompass. Skulle jag dock förkjuta min blick så att den hamnar till vänster om nord så förändras riktningen jag måste ta för att nästa steg ska vara nordväst osv så jag kommer typ gå i en båge/spiral efter ett visst antal steg. Detta sker eftersom när jag är på min nya position så kommer nord vara lite höger om min blick istället för rätt framför.

EDIT: Din spoler fungerar inte :P

Nej kompassriktningen beror inte på åt vilket håll du tittar.

Om du står vänd rakt norrut och ska ta ett steg åt nordväst så ska du ta ett steg snett framåt åt vänster. 

Bortredigerat inlägg. Regelbrott 3.1 /Kajsa, Admin

Henrik Eriksson skrev :

Nytt problem: Hur långt kan man gå åt nordväst?

Nordväst enligt en (teoretisk) magnetisk kompass?
Jag ser mig till slut gående runt den magnetiska nordpolen. Steglängden tycks skapa en teoretisk kvadrat, om jag lyckas hålla en teoretiskt exakt steglängd, annars tycks rutmönstren skapa en cirkel med radie steglängd dividerat med roten ur två.

Nord betyder alltid i riktning mot den geografiska nordpolen. Någon kompass nämns inte i uppgiften, inte heller någon steglängd.

Henrik Eriksson skrev :

Nord betyder alltid i riktning mot den geografiska nordpolen. Någon kompass nämns inte i uppgiften, inte heller någon steglängd.

Är ju inte särskilt svårt att ändra min text från magnetisk till geografisk nordpol. Kan man gå utan att ta ett steg? Kan du mena med infinitesimalt små steg? Då tycks man hamna exakt på den geografiska (denna gången) nordpolen.

Och vad är ditt svar?

Lirim.K skrev :

Det beror helt på hur din ursprungliga orientering är relativt jordens nordpol.Antag att jag tittar rakt mot nord i början, tar jag ett steg sidledes mot nordväst men men fortfarande behåller min blick mot nord så fungerar det på samma koncept som ett kompass.

Nu menade jag inte bokstavligt åt vilket håll du ska "titta" utan mer att du skulle konstatera att du alltid ska ha en riktning med två lika stora vinkelräta komposanter, en mot väst $-\hat{\varphi}$ och en mot nord $-\hat{\theta}$ under hela resan. Av bekvämlighet väljer vi komposantlängden $R|\Delta\theta|$ och får $\mathrm{d}l=R\sqrt{2}\mathrm{d}\theta$ för varje infinitesimalt steg.

Henrik Eriksson skrev :

Och vad är ditt svar?

Jahaa...jag letade upp frågan igen.
Oavsett steglängd...ingen kompass...ingen teodolit eller nått...jaja...
Man tycks kunna gå oändligt långt mot nordväst.
Man tycks dock hamna bra nära nordpolen :-)

Inte rätt, försök igen!

Jag står på sydpolen...blir sinnesförvirrad av frågeställningen...och kommer ingen vart :-)

Affe Jkpg skrev :

Jag står på sydpolen...blir sinnesförvirrad av frågeställningen...och kommer ingen vart :-)

Tips: Ta ett infinitesimalt kliv åt godtyckligt håll, konsultera sedan din ideala kompass.

Om vi börjar ett litet infinitesimalt steg från sydpolen så att vi kan gå åt något annat håll än norrut.
Antag sedan att vi har en steglängd mot nordpolen som är s. Då tar vi stora kliv som är $s·\sqrt{2}$ nordväst för att närma oss nordpolen på samma sätt som ett steg rätt norrut. Om vi antar att det är ett idealt klot och 2000 mil från sydpol till nordpol så skulle det då innebära att efter $2000·\sqrt{2}$ mil ≈ 2800 mil så har vi nått nordpolen. Hur ser en sådan förflyttning ut på jordgloben? I början så fjärmar sig de två stråken nord respektive nordväst från varandra men sedan så närmar de sig varandra för att mötas vid nordpolen. Var sker bytet från fjärmande till närmande?     

Yngve skrev :

Affe Jkpg skrev :

Jag står på sydpolen...blir sinnesförvirrad av frågeställningen...och kommer ingen vart :-)

Tips: Ta ett infinitesimalt kliv åt godtyckligt håll, konsultera sedan din ideala kompass.

Jag har tidigare blivit förbjuden att använda kompass i denna uppgift :-)

Bra, mattekalle! Ja tycker att det verkar som om raka norrvägen och nordvästvägen är fjärmast 2000e^-pi från polen. och att dom korsar varandra 2000e^-2npi från polen, där n=1,2,3,...

mattekalle skrev :

Om vi börjar ett litet infinitesimalt steg från sydpolen så att vi kan gå åt något annat håll än norrut.
Antag sedan att vi har en steglängd mot nordpolen som är s. Då tar vi stora kliv som är $s·\sqrt{2}$ nordväst för att närma oss nordpolen på samma sätt som ett steg rätt norrut. Om vi antar att det är ett idealt klot och 2000 mil från sydpol till nordpol så skulle det då innebära att efter $2000·\sqrt{2}$ mil ≈ 2800 mil så har vi nått nordpolen. Hur ser en sådan förflyttning ut på jordgloben? I början så fjärmar sig de två stråken nord respektive nordväst från varandra men sedan så närmar de sig varandra för att mötas vid nordpolen. Var sker bytet från fjärmande till närmande?     

Mattekalle tycker inte heller att det går lämna sydpolen utan att röra sig rakt norrut.
P.s.s. borde det väl vara omöjligt att nå nordpolen utan att röra sig rakt norrut?

Man måste starta en nanometer från sydpolen, men man kommer faktiskt precis fram till nordpolen efter att ha färdats $1000\sqrt{2}$ mil från ekvatorn. Det är samma resonemang som att 0,9999... är exakt lika med 1.

Henrik Eriksson skrev :

Man måste starta en nanometer från sydpolen, men man kommer faktiskt precis fram till nordpolen efter att ha färdats $1000\sqrt{2}$ mil från ekvatorn. Det är samma resonemang som att 0,9999... är exakt lika med 1.

Man kan fundera över att nordväst-definitionen inte är entydig.

I approximationen som ger värdet $\sqrt{2}$ förutsätts att nordväst definieras som diagonalen i en kvadrat. I extremfallet vid nordpolen finns väl ingen kvadrat, utan det återstår väl bara en triangel? 

Vid flygnavigering använder man sig av rutter som beskriver storcirklar. Flygning från t.ex. (longitud, latitud) = (+10grader väst, +10grader norr) till (+20grader väst, +20grader norr) kan sägas ske åt nordväst. Storcirkeln är dock närmare än om man använt den beskrivna approximationen $\sqrt{2}$.

Nordvästspiralen är 1,414 gånger så lång. som den kortaste vägen. Någon kvadrat eller approximation är det inte frågan om. Nordväst är helt enkelt riktningen mitt emellan nord och väst.

Affe Jkpg skrev :

I approximationen som ger värdet $\sqrt{2}$ förutsätts att nordväst definieras som diagonalen i en kvadrat. I extremfallet vid nordpolen finns väl ingen kvadrat, utan det återstår väl bara en triangel? 

 

$\int_0^\pi \sqrt(2)R \mathrm{d}\theta=\sqrt{2}R\pi$ är en approximation endast för att jorden (och dess radie R) är något tillplattad vid polerna. Riktningen (och därmed faktorn $\sqrt{2}$) kommer från definitionen av nordväst, vilket följer av att basvektorerna är ortogonala även i sfäriska koordinater.

Här kommer nästa kluring:

Min vän Stickan sa att han kommit på en dekaeder byggd med ett antal lika stora liksidiga trianglar. Se bilder. Han har använt sig av ihopskarvade tetraedrar.
Vidare tyckte han att han fått ett väldigt bra utnyttjande av stickorna, nämligen 5 + 5 liksidiga trianglar som sidor plus 5 stycken liksidiga trianglar som ekrar inuti dekaedern.
Det blir ju faktiskt totalt 15 stycken lika stora liksidiga trianglar på 16 stickor. Inte illa, men dessutom hävdade han att han vill tillskriva sig en till platonsk kropp: Stickans dekaeder.

Nja, sa jag till Stickan att det där låter lite väl bra för att vara sant. På ett sätt har du rätt till 98 %. Ja men sa Stickan, jag har inte gjort någon åverkan på stickorna mer än limmat ihop min geniala figur.

Enligt Euklides så finns det bara fem olika platonska kroppar (dvs konvexa tredimensionella geometriska kroppar (polyedrar) med likformiga polygoner som sidor.
Gemensamt är att varje kropp består av ett antal av samma regelbundna geometriska figur.

Tetraeder: fyra liksidiga trianglar
Kub: sex kvadrater
Oktaeder: åtta liksidiga trianglar
Dodekaeder : tolv regelbundna pentagoner (femhörningar)
Ikosaeder: tjugo liksidiga trianglar

Frågan är nu: Vad gjorde Stickan för fel i sina slutsatser från sitt bygge?

Det är inte en platonsk kropp eftersom det inte möts lika många sidor i varje hörn (5 resp. 4).

Ja det var en del i det hela.
Vad mer?
Tex hur är det med utsagan om 15 st lika stora liksidiga trianglar.

Nåt skumt är det för vinkeln mellan två tetraederplan är 70,53 grader och 5 gånger det blir inte 360 utan bara 352,65. Jag gissar att den centrala stickan är lite längre så att vinkeln blir 72 grader i stället.

Ja nu börjar det lossna. Vinkeln mellan två tetraederplan är $\approx$70,53 grader. Det var därför jag skrev att det på ett sätt är rätt till 98 %. Dvs 70,53 är ca 98 % av 72.
Så om vi då för skojs skull försöker bygga vår figur så gott det går med ideala tetraedrar. Hur ser den slutliga figuren ut och hur många lika stora liksidiga trianglar kan man få?

Sett framifrån så ser man att det fattas ca 7,4⁰ när man anslutit alla fem tetraedrarna. Det innebär att man i stället för att få 15 lika stora liksidiga trianglar med 16 stickor så får man:
a. 15 lika stora liksidiga trianglar med 18 stickor dvs man får lägga till en sticka vid röda markeringen på fram och baksida i änden på den blå stickan.
b. 13 lika stora liksidiga trianglar med 15 stickor om man inte tar med de två röda och inte heller den blå stickan.

Här kommer nästa kluring.
En figur ser ut från två av tre vyer enligt beskrivningen ovan. Hur ser den ut i vyn som är i x-led.

Den tredje vyn kan vara en stor (tom) kvadrat. Även samma vy, som de två första kan inte uteslutas heller. Vet man något mer om figuren?

Rätt svarat Henrik!
Frågan är nu: Finns det fler figurer som stämmer in med frågeställningen eller var vi klara här?

jo det finns en till, istället för en utstående hörna i det lutande planet kan det vara en motsvarande kavitet.

Bra Ture!  Där gick vi i mål med kluringen. Din tanke blir alltså enligt nedan.
Har du Ture någon kluring att servera.

Hej, jo det var så jag menade. Dessvärre har jag ingen ny kluring att presentera, hoppas att ngn annan känner sig manad.

Vad är förväntade avståndet mellan två slumpade punkter på [0,1]? Det kan beräknas med en dubbelintegral men jag söker ett resonemang som ger svaret utan räkningar.

Om man slumpmässigt väljer tre punkter $x,y$och $z$ i intervallet $\left[0,1\right]$ så kan man tänka att det är en sannolikhet på $1/3$ att $z$ ligger mellan $x$ och $y$. Samma sannolikhet gäller även om $x$ eller $y$ ligger i mitten. Eftersom avståndet mellan $0$ och $1$ är lika med $1$ så är det förväntade avståndet lika med $1·1/3 = 1/3.$

Jag har svårt att se hur man ska lyckas lösa uppgiften utan en enda räkning. 

Jag hoppas att du inte behövde ta fram stordatorn för att beräkna att tre tredjedelar är en hel... Nytt problem!

Hehe, jag trodde verkligen du menade att det inte skulle vara någon aritmetik alls. Återkommer med nytt problem imorgon!

Nytt problem: Vad är det största $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ sådant att talet $n^3+100$ är delbart med talet $n+10$?

Jag föreslår 890.

Henrik Eriksson skrev :

Jag föreslår 890.

Gott förslag du har där! Utveckla lite och sen får du komma med en ny uppgift.

Jag vet att (n^3+10^3)=(n+10)(n^2-10n+10^2) så n^3+1000 är delbart med n+10. Om n^3+100 också ska vara det måste mellanskillnaden 900 vara delbar med n+10. Största möjliga n är då 890.

Nytt problem: En liter hundraprocentig alkohol och en liter vatten finns i var sitt kärl som rymmer 1,1 liter. Du vill blanda till femtioprocentig alkohol genom att hälla över en deciliter, röra om hälla tillbaka, röra om osv. Hur många hällningar behövs?

Osäker, men om man börjar med att hälla över 0,1 liter vatten till kärlet som innehåller alkohol, så får man den önskade koncentrationen på 9st hällningar?

Ser nu att det behövs minst över 50 hällningar. Återkommer.

Ok, nu får jag det till att det krävs 44 hällningar att få 50,019% i det kärl de från början var vatten i.

Blandningen borde gå asymptotiskt mot 50 % och svaret borde därför bli att man aldrig uppnår exakt 50 % blandning.

Men det finns två utvägar:

1. Henrik skriver "femtioprocentig alkohol" vulket tyder på att så snart blandningen kan avrundas till 50 % så är vi klara.

2. Eftersom det är ett begränsat antal molekyler så kommer man ändå att uppnå 50/50 så småningom.

Yngve skrev :

Blandningen borde gå asymptotiskt mot 50 % och svaret borde därför bli att man aldrig uppnår exakt 50 % blandning.

 

Men det finns två utvägar:

1. Henrik skriver "femtioprocentig alkohol" vulket tyder på att så snart blandningen kan avrundas till 50 % så är vi klara.

2. Eftersom det är ett begränsat antal molekyler så kommer man ändå att uppnå 50/50 så småningom.

Precis, ju närmare 50% jag kom till desto fler beräknings iterationer behövde jag för varje procentenhet. Jag försökte sätta upp en rekursiv formel men misslyckades. I brist på kreativitet så vände jag mig till dator.

Spam. Brott mot regel 3.1 och 3.2. /Smutstvätt, moderator.

Nytt bättre försök:

Om man har en koncentration $k\in [0,1]$ i början i ena kärlet så innebär det att det andra kärlet måste ha en koncentration på $1-k$ eftersom totalt i bägge kärlen så har vi alltid lika mycket vatten och alkohol. Efter en hällning, dvs efter att man hällt 0,1 liter från vatten kärlet till alkohol kärlet så har koncentrationen gått från $k$ till $\frac{10k+1}{12}.$ Efter $n$ hällningar så har man en koncentration på

     $\left\{\begin{array}{ll}{k}_0& =1\\ k_n& =\frac{10k_{n-1}+1}{12}\end{array}\right.$

Den generella lösningen till rekurrensekvationen ges av

     $k_n=\frac{1}{2}\left(1+{\left(\frac{5}{6}\right)}^n\right)$.

Utifrån detta uttryck ser vi att $\left(1+{\left(5/6\right)}^n\right)>1$  $\forall n\in \mathrm{ℝ}$ vilket betyder att $k_n\to 1/2$ då $n\to \infty$ eftersom ${\left(5/6\right)}^n$ är avtagande på hela $\mathrm{ℝ}$. Men redan efter cirka 26 hällningar kan man säga att man har en ungefär 50%-ig blandning eftersom

     $k_{26}=\frac{1}{2}\left(1+{\left(\frac{5}{6}\right)}^{26}\right)\approx 0.5044=50.44\%.$

Fint löst! Men i matematiken betyder femtioprocentig exakt femtioprocentig, så avsett svar var att det aldrig uppnås.

Nytt problem: Ange, och visa hur du kommer fram till, alla reella lösningar till ekvationssystemet nedan.

     $\begin{array}{c}x+y=\sqrt{4z-1}\\ z+x=\sqrt{4y-1}\\ y+z=\sqrt{4x-1}\end{array}$

Lirim.K skrev :

Nytt problem: Ange, och visa hur du kommer fram till, alla reella lösningar till ekvationssystemet nedan.

     x+y=4z-1z+x=4y-1y+z=4x-1

Varsågod Lirim.K ;-) 

Yngve skrev :

Lirim.K skrev :

Nytt problem: Ange, och visa hur du kommer fram till, alla reella lösningar till ekvationssystemet nedan.

     x+y=4z-1z+x=4y-1y+z=4x-1

Varsågod Lirim.K ;-) 

Ekvationen som du anger har lösningar, som inte är lösningar till ekvationssystemet. Eller tänkte du kanske att man skulle fortsätta göra något? Du är välkommen att fortsätta annars :)

Lirim.K skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Lirim.K skrev :

Nytt problem: Ange, och visa hur du kommer fram till, alla reella lösningar till ekvationssystemet nedan.

     x+y=4z-1z+x=4y-1y+z=4x-1

Varsågod Lirim.K ;-) 

Ekvationen som du anger har lösningar, som inte är lösningar till ekvationssystemet. Eller tänkte du kanske att man skulle fortsätta göra något? Du är välkommen att fortsätta annars :)

Nej jag menar varsågod du får.gärna publicera en kluring (trots att det egentligen var min tur) :-) 

Jag lovar att jag tänkte skriva ett inlägg där jag först frågar dig, men av sen tyckte jag att du gör rätt antaganden men inte visar hur du kommer fram till dem så jag körde på. "Borde gå aymptotiskt mot 50%", varför? Men du får min tur nästa gång för du hade faktiskt rätt svar ;)

Om man sätter 4x-1=a^2 osv och subtraherar4* ekv 3 från 4*ekv 2 får man a^2-b^2=-4(a-b) alltså a=b eller a+b=-4. Analogt måste antingen b=c eller b+c=-4 och samma för a och c. Då följer a=b=c=1 (som ger x=y=z=1/2) eller a=b=-4-c (med ickereell lösning).

Kort och fint. En annan fin lösning är att man direkt kan se att $x,y,z\ge 1/4$ för att ekvationssystemet ska ha lösningar. Om man sedan, utan generealitetsförlust, antar att $x\ge y\ge z$ så medför det att

     $\sqrt{4x-1}\ge \sqrt{4y-1}\ge \sqrt{4z-1}\iff y+z\ge x+z\ge y+x\iff z\ge y\ge x$,

De enda sambandet som uppfyller bägge olikheterna samtidigt är $z=y=x$, så det räcker med att bara lösa en ekvation genom

     $x+x=\sqrt{4x-1}\iff 4x^2=4x-1\iff x^2-x+\frac{1}{4}=0\iff x_{1,2}=\frac{1}{2}.$

Din tur, Henrik!

På alkoholblandningsproblemet så borde man också kunna argumentera som följer.

Notera att om ena lösningen är 50% så måste också den andra vara det (rätt lätt att se, om vi häller ihop båda lösningarna så måste vi t.ex. få 50% vilket inte skulle ske om ena är 50% och andra är högre/lägre).

Antag att jag kan blanda till 50% på n steg. i sista steget så har jag hällt från lösning 1 till lösning 2. Detta ändrar inte lösning 1:s koncentration. Efteråt vet jag att det är 50% i lösning1, så då måste det vara 50% innan också då koncentrationen inte ändrades. Men, då måste det, enligt mitt tidigare argument, även vara 50% i lösning 2 innan min sista hällning. Så om jag kan göra det på n steg så kan jag göra det på n-1 steg. uppenbarligen så kan jag inte göra det på 0 steg, så vi får motsägelse.

50% efter -> 50% innan använder att vi faktiskt har en positiv mängd vätska i båda kärlen hela tiden (hade vi fått blanda fritt och kunnat tömma ett kärl så är det rätt lätt :) ).

Bra resonemang av JonanB! Nytt problem: Var skär kurvan $x^y=y^x$ sej själv? Nej, förresten, vi väntar med det. Det var ju Yngves tur, eller hur?

Denna kluring har flera möjliga lösningar.

Den enligt mig "bästa" lösningen vinner. Helt godtyckligt alltså.

(Synd att spoilerfunktionen inte finns kvar)

Korrigera det matematiska uttrycket genom att endast flytta en sticka.

Ja, vi väntar på Yngve så inte han känner sig utstött. Efter honom är det din tur, Henrik.

Jag tolkar det som att Henriks fråga följer och kan därför med gott samvete ge en lösning utan att behöva ställa en ny fråga. Jag flyttar en sticka från plustecknet till 6:an så det blir en åtta, dvs 8-4=4!

Guggle skrev :

Jag tolkar det som att Henriks fråga följer och kan därför med gott samvete ge en lösning utan att behöva ställa en ny fråga. Jag flyttar en sticka från plustecknet till 6:an så det blir en åtta, dvs 8-4=4!

Ja det är en lösning. Men det finns fler.

1) Flytta valfri sticka, utom stickorna som utgör likhetstecknet så att man får ett $\ne$. T,ex: $6-4\ne 4.$

2) Flytta sticka från 6:an så att man får en 5:a och bildar en 9:a i HL. Dvs $5+4=9.$

3) Flytta mittenstickan i 6:an så att det blir en nolla. 0+4 = 4.

Några till då, flytta stickan från plustecknet till likamed och erhåll $6-4\neq 4$, eller flytta mittenstickan i 6:an för att få 0+4=4. Eller flytta nedre vänster sticka från 6:an till 4:n för att få 5+4=9.

Något måste väl duga?!

Lirim.K skrev :

1) Flytta valfri sticka, utom stickorna som utgör likhetstecknet så att man får ett ≠. T,ex: 6-4≠4.

 

Inte valfri sticka. Jag ser bara två sådana möjligheter:

6 - 4 =/= 4

5 + 4 =/= 4

Ser du fler?

2) Flytta sticka från 6:an så att man får en 5:a och bildar en 9:a i HL. Dvs 5+4=9.

Ja det är en lösning.

3) Flytta mittenstickan i 6:an så att det blir en nolla. 0+4 = 4.

Ja det är en lösning.

Då har vi hittills samlat 5 olika lösningar.

Men det finns fler.

Är kriteriet bara att det ska vara en matematisk utsaga där vi får använda variabler, typ 6-y=4 och 6-4=y? Isf blir det massa fler!

Guggle skrev :

Är kriteriet bara att det ska vara en matematisk utsaga där vi får använda variabler, typ 6-y=4 och 6-4=y? Isf blir det massa fler!

Bra fråga! Kriteriet är att det ska vara en matematisk utsaga som är sann. Så dina föreslagna ekvationer är inte godkända.

(men de var bra, så om du på ngt smart sätt samtidigt kan få till att y = 2 så godkänner jag dem) ;-) 

Yngve skrev :

Lirim.K skrev :

1) Flytta valfri sticka, utom stickorna som utgör likhetstecknet så att man får ett ≠. T,ex: 6-4≠4.

 

Inte valfri sticka. Jag ser bara två sådana möjligheter:

6 - 4 =/= 4

5 + 4 =/= 4

Ser du fler?

Ja, 3+4 =/= 4.

Lirim.K skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Lirim.K skrev :

1) Flytta valfri sticka, utom stickorna som utgör likhetstecknet så att man får ett ≠. T,ex: 6-4≠4.

 

Inte valfri sticka. Jag ser bara två sådana möjligheter:

6 - 4 =/= 4

5 + 4 =/= 4

Ser du fler?

Ja, 3+4 =/= 4.

Nej hur får du en trea av sexan?

Det blir ju ett E om du tar bort den högra vertikala stickan.

Kanske om det hade blivit ett gement e (2,718..), men inte ett versalt.

Av någon anledning så såg jag spegelvänt... men jag hittar inga fler.

Lirim.K skrev :

Av någon anledning så såg jag spegelvänt... men jag hittar inga fler.

Men det är bra tänkt. Att se problemet från ett annat perspektiv kan ge ytterligare en lösning.

0+4=4

Edit: Asch, den fanns redan...

6) 6 + 4 > 4, om man bara vinklar upp den översta stickan lite.

Lirim.K skrev :

6) 6 + 4 > 4, om man bara vinklar upp den översta stickan lite.

Ja! Den är bra. Men du får inte vinkla den andra stickan. Då låter vi hellre olikhetstecknet vara lite snett.

Nu är vi nästan framme. Bara några till ;-) 

Vad sägs om att flytta den lodräta stickan i pluset så det blir ett större än tecken? 

7) 6 > 4 = 4?

Lirim.K skrev :

Vad sägs om att flytta den lodräta stickan i pluset så det blir ett större än tecken? 

7) 6 > 4 = 4?

Snyggt! Jag hade en liknande i tankarna, kan du hitta även den?

Förmodligen inte den du tänker på men jag kom att tänka på denna:

8) 6 ∤4=4

I ord: talet 6 delar inte 4, som är lika med 4.

EDIT: Kom på en till

9) 6 - 4 ≤ 4.

Fast denna är ju till hälften sann. Vet ej om du godkänner den.

Lirim.K skrev :

Förmodligen inte den du tänker på men jag kom att tänka på denna:

8) 6 ∤4=4

I ord: talet 6 delar inte 4, som är lika med 4.

EDIT: Kom på en till

9) 6 - 4 ≤ 4.

Fast denna är ju till hälften sann. Vet ej om du godkänner den.

Toppen!

Ingen av dessa hade jag tänkt på.

9-an är ju alltid sann, inte bara till hälften.

Nu är det bara ett fåtal kvar.

Du skriver att man ska göra uttrycket sant, men skriver inte om att det ska vara en ekvation eller olikhet. Annars finns det ju en del till om man bara behöver uttryck. T.ex. uttrycket

6 + 4 + 4, om man gör om likhetstecknet till ett plus.

En annan sak man kan titta på är ortogonalitet och parallellitet. $\perp ,\parallel$om man definierar talen som vektorer. Godkänner du dessa?

Hittade en till.

10) 5 + 4 ≥ 4.

Lirim.K skrev :

Du skriver att man ska göra uttrycket sant, men skriver inte om att det ska vara en ekvation eller olikhet. Annars finns det ju en del till om man bara behöver uttryck. T.ex. uttrycket

6 + 4 + 4, om man gör om likhetstecknet till ett plus.

En annan sak man kan titta på är ortogonalitet och parallellitet. ⊥,∥om man definierar talen som vektorer. Godkänner du dessa?

Hittade en till.

10) 5 + 4 ≥ 4.

Jag skrev att det ska vara en matematisk utsaga som är sann, så uttrycket 6+4+4 godkänns inte.

Ortogonalitet och parallellitet var innovativt, men jag tycker att vi kan hålla oss till tal i R.

Nummer 10 får däremot godkänt!

Nu fattas det bara ett par stycken.

Så. Nu kastar jag in handduken.

8-4=4. Är den med?

mattekalle skrev :

8-4=4. Är den med?

De tio som jag hittat är

1)   8-4=4
2)   0+4=4
3)   5+4=9
4)   6-4≠4
5)   5+4≠4
6)   6+4>4
7)   6>4=4
8)   5+4≥4
9)   6-4≤4
10) 6∤4=4

$6\neq 4-4$

Guggle skrev :

$6\neq 4-4$

Hur?

Jaha nu fattar jag. Bra!

Guggle skrev :

$6\neq 4-4$

Toppen Guggle. Där kom #11.

Ni överträffar mina högt ställda förväntningar, men jag väntar fortfarande på tre specifika lösningar.

En som är snarlik #7.

En som kräver ett annat perspektiv.

En som kräver en välvillig tolkning av ett divisionstecken.

Får  man bryta sönder stickan i flera delar, forma den eller tända eld på den innan man lägger tillbaka den på valfri plats? Hur tätt ligger stickorna, kan man anta att de tar eld om man återlägger en brinnande tändsticka?

Jag tror man kan bilda +4=4, ska utföra experiment i fikarummet om jag kan hitta tändstickor!

5≠4=4

Guggle skrev :

Får  man bryta sönder stickan i flera delar, forma den eller tända eld på den innan man lägger tillbaka den på valfri plats? Hur tätt ligger stickorna, kan man anta att de tar eld om man återlägger en brinnande tändsticka?

Jag tror man kan bilda +4=4, ska utföra experiment i fikarummet om jag kan hitta tändstickor!

Flytta utan att bryta, forma eller bränna.

Stickorna ligger så tätt som figuren visar.

Se upp så du inte tänder eld på hela stället! :-)

vänd upp och ner på bilden och flytta en tändsticka från = för att få

h<h+9

joculator skrev :

5≠4=4

Yes joculator! Det var #12, den som var snarlik #7

Nu har jag bara två kvar på lager.

joculator skrev :

vänd upp och ner på bilden och flytta en tändsticka från = för att få

h<h+9

Briljant! Den hade jag inte tänkt på. Det blir alltså #13

Det var inte det andra perspektivet jag menade, vilket alltså betyder att det fortfarande finns (minst) två kvar.

Om man får lov att tolka 4:orna som y:n så får man att 6 + y = y som kan fixas till:

14)  6 + y > y

15)  6 - y ≤ y

EDIT: Fast för 15 så är ju förutsättningen att y är större än eller lika med 3.

Lirim.K skrev :

Om man får lov att tolka 4:orna som y:n så får man att 6 + y = y som kan fixas till:

14)  6 + y > y

15)  6 - y ≤ y

#14 får godkänt trots de estetiska bristerna. Det är ju ingen skönhetstävling vi håller på med.

Men #15 får underkänt. Den olikheten är ju inte alltid sann.

Fortfarande två lösningar kvar. Eller en och en halv.

Den ena kräver ett nytt perspektiv och den andra innehåller ett divisionstecken som egentligen inte borde få godkänt.

Tar en sticka från sexan så att man får

15) 5 ÷ 4 ≠ 4

Om man nu tolkar pluset som ett divisionstecken. Kanske det du tänker på?

Lirim.K skrev :

Tar en sticka från sexan så att man får

15) 5 ÷ 4 ≠ 4

Om man nu tolkar pluset som ett divisionstecken. Kanske det du tänker på?

Nej jag tänker på ett vertikalt divisionstecken, som alltså skulle se ut så här | istället för.så här /

15) 6/4 ≠ 4

Lirim.K skrev :

15) 6/4 ≠ 4

Ja! Alltså 6 | 4 =/= 4.

Och så en till på samma tema. En ekvation den här.gången.

16) 6|y ≠ y.

Lirim.K skrev :

16) 6|y ≠ y.

Nej den är inte alltid sann.

Jag är ute efter en likhet.

0+y=y    (känns lite väl fegt)

6+4=11        (i ett nonärt talsystem)

joculator skrev :

0+y=y    (känns lite väl fegt)

Nja. Det här är ju inte ett nytt sätt att placera stickorna (identiskt med #2). Endast tolkningen av andra termen och summan skiljer.

joculator skrev :

6+4=11        (i ett nonärt talsystem)

Jamen det är ju lysande! Den hade jag inte helelr tänkt på. Med beröm godkänt!

Vi har alltså

16)  6 + 4 = 11 (nonärt talsystem)

Men jag saknar fortfarande två lösningar.

Tips: Båda inbegriper tvåsiffriga tal.

Vi får slänga in en ny regel för att få ruljangs i tråden: Ett problem får maximalt vara aktuell i 7 dagar. Efter att tidsfristen är ute och ingen har kommit med en lösning som allmänt godkänns av medlemmarna så måste problem postaren själv presentera lösningen. Det är därefter fritt för vem som helst att slänga in ett nytt problem.

Denna gång blir det Henrik Eriksson's tur eftersom han gav sin tur till Yngve, vars tur jag stal. Yngves tändsticks problem går ut imorgon, eftersom den postades den 19:e april.

Håller alla med eller ska vi ändra på något?

Bra idé Lirim.K.

Men jag tror att denna kluring redan gått i stå så jag postar mina sista två lösningar nu istället så att Henrik slipper stå och stampa i startboxen.

Jag måste säga att jag är djupt imponerad av alla kreativa lösningar ni kommit fram till!

Det var kreativt! Tänkte också försöka bilda ettor men det gick inte för jag var så inlåst på att en etta enbart kan bildas m.h.a två stickor. Men bra jobbat av alla, vi lyckades få ihop 18st totalt och det finns säkert fler!

Jag har en bra diofantisk ekvation på lager men vi får invänta Henrik först så att vi gör det rätt denna gången :)

Var skär kurvan $x^y=y^x$ sej själv? (Kan lösas utan logaritmering eller derivering.)

Henrik Eriksson skrev :

Var skär kurvan xy=yx x^y=y^x sej själv? (Kan lösas utan logaritmering eller derivering.)

En skärningspunkt är ju triviala (1, 1), men jag antar att det finns fler?

Nej, (1,1) är ingen skärningspunkt. Tänk på att (2,4) ligger på en kurvgren och (2,2) på en annan.

Svaret är att i punkten $\left(e,e\right)$ så skär kurvan sig själv, men jag vet inte hur jag ska visa detta utan logaritmering och derivata.

EDIT: Jag kan komma undan med att inte behöva derivera, men inte utan att behöva logaritmera.

Henrik Eriksson skrev :

Nej, (1,)1 är ingen skärningspunkt. Tänk på att (2,4) ligger på en kurvgren och (2,2) på en annan.

Nej just det. (1, 1) är bara en punkt på kurvan, ingen skärningspunkt.

@Henrik: Är ditt krav att kunna lösa den utan log och derivata eller godtar du andra lösningsförslag?

Ju fler lösningsmetoder, desto roligare. (Gränsvärde för e kan användas.)

Om man övergår i polära koordinater genom

     $\left\{\begin{array}{ll}x=& r\cos \left(\phi \right)\\ y=& r\sin \left(\phi \right)\end{array}\right.\Rightarrow {\left(r\cos \left(\phi \right)\right)}^{r\sin \left(\phi \right)}={\left(r\sin \left(\phi \right)\right)}^{r\cos \left(\phi \right)}.$

Tar man r:te roten ur bägge led och drar ut r:et ur parenteserna så får man

     $r^{\sin \left(\phi \right)}\cos (\phi {)}^{\sin \left(\phi \right)}=r^{\cos \left(\phi \right)}\sin (\phi {)}^{\cos \left(\phi \right)}\iff \frac{r^{\sin \left(\phi \right)}}{r^{\cos \left(\phi \right)}}=\frac{\sin (\phi {)}^{\cos \left(\phi \right)}}{\cos (\phi {)}^{\sin \left(\phi \right)}}$.

Löser man ut $r$ m.h.a potenslag får man att

     $r^{\sin \left(\phi \right)-\cos \left(\phi \right)}=\frac{\sin (\phi {)}^{\cos \left(\phi \right)}}{\cos (\phi {)}^{\sin \left(\phi \right)}}\iff r\left(\phi \right)={\left(\frac{\sin (\phi {)}^{\cos \left(\phi \right)}}{\cos (\phi {)}^{\sin \left(\phi \right)}}\right)}^{\frac{1}{{}^{\sin \left(\phi \right)-\cos \left(\phi \right)}}}.$

Det enda stället där $x$ och $y$är lika är när $\phi =\mathrm{\pi }/4\iff \sin \left(\mathrm{\phi }\right)=\cos \left(\mathrm{\phi }\right).$ Detta ger att

     $r\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)={\left(\frac{\sin {\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}^{\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}}{\cos {\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}^{\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}}\right)}^{\frac{1}{{}^{\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)-\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}}}=e\sqrt{2}.$

Detta ger att man i kartesiska koordinater får

     $r\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}x& =e\sqrt{2}·\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=e\sqrt{2}·\frac{1}{\sqrt{2}}=e\\ y& =e\sqrt{2}·\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=e\sqrt{2}·\frac{1}{\sqrt{2}}=e\end{array}\right.\iff \left(x,y\right)=\left(e,e\right).$