Kluring - Trigonometrisk integral

Beräkna

$\displaystyle \int_0^{\pi/2} (\sin^6x+\cos^6x)dx$

om du har mycket tid kan du använda eulers identiteter för att skriva om det som exponentialfunktioner

Det finns nog ett trick. :)

Visa spoiler

$\sin^6x + \cos^6x = (\sin^2 x)^3+(\cos^2 x)^3=(\sin^2+\cos^2x)(\cos^4x+sin^4x-\sin^2x \cos^2x)$

trig ettan eliminerar första parantesen. Sedan gömmer det sig en dubblavinkel för cosinus efter lite faktorisering:

$(\cos^4x+sin^4x-\sin^2x \cos^2x) = \sin^4x+\cos^2x(\cos^2x-\sin^2x)=\sin^4x+\cos^2x \cos(2x)$ $\sin^4x = (\sin^2x)^2= (\dfrac{1-\cos(2x)}{2})^2$

Osv..

svar: $\dfrac{5 \pi}{16}$

Dracaena skrev:
Det finns nog ett trick. :)

Visa spoiler

$\sin^6x + \cos^6x = (\sin^2 x)^3+(\cos^2 x)^3=(\sin^2+\cos^2x)(\cos^4x+sin^4x-\sin^2x \cos^2x)$

trig ettan eliminerar första parantesen. Sedan gömmer det sig en dubblavinkel för cosinus efter lite faktorisering:

$(\cos^4x+sin^4x-\sin^2x \cos^2x) = \sin^4x+\cos^2x(\cos^2x-\sin^2x)=\sin^4x+\cos^2x \cos(2x)$ $\sin^4x = (\sin^2x)^2= (\dfrac{1-\cos(2x)}{2})^2$

Osv..

svar: $\dfrac{5 \pi}{16}$

Stämmer!

Svara

Visa senaste svar