Kluring: Existerande och nollskild derivata medför injektivitet?

Antag att $f^{\text{'}}\left(x\right)\ne 0 \forall x\in \mathrm{ℝ}$. Antag även att $f$ inte är injektiv. Då finns det $x\ne y\in \mathrm{ℝ}, y<x$, sådana att $f\left(x\right)=f\left(y\right)$.

Medelvärdessatsen ger (eftersom $f$ är en deriverbar funktion) att det finns något $\xi \in (y, x)$ sådant att $\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}=f\text{'}\left(\xi \right)$.

På grund av antagandet har vi därför $\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}=0=f\text{'}\left(\xi \right)$, en motsägelse till antagandet att $f^{\text{'}}\left(x\right)\ne 0 \forall x\in \mathrm{ℝ}$. $\square$

Det ligger nära till hands att förmoda att följande lite starkare påstående gäller:

Starkare påstående. Om $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ är en deriverbar funktion, sådan att $f'(x)\neq 0$ för alla $x\in\mathbb{R}$, så är $f$ antingen strängt växande eller strängt avtagande.

Om $f$ inte enbart är deriverbar utan kontinuerligt deriverbar är detta enkelt att visa.

Bevis för fallet när $f'$ är kontinuerlig. Idén är att om $f'$ är kontinuerlig, så kan den inte byta tecken utan att passera det förbjuda värdet noll. Mer formellt skulle vi kunna söka en motsägelse genom att anta att $a,b\in\mathbb{R}$ är sådana att $f'(a)>0$ medan $f'(b)<0$. Satsen om mellanliggande värde ger då att det finns ett $\xi$ mellan $a$ och $b$ sådant att $f'(\xi)=0$, vilket motsäger antagandet om nollskild derivata. Vi drar därför slutsatsen att $f'$ antingen är strängt positiv (så att $f$ är strängt växande) eller strängt negativ (så att $f$ är strängt avtagande). $\square$

Det visar sig att detta går att generalisera till alla deriverbara funktioner. Nyckeln är att även om derivatan inte är kontinuerlig, så är själva funktionen $f$ i vart fall är kontinuerlig (deriverbarhet medför ju kontinuitet), och vi kan då använda extremvärdessatsen.

Bevis för det generella fallet. Vi söker en motsägelse genom att anta att $f'(a)>0$ och $f'(b)<0$ för några $a,b\in\mathbb{R}$. Vi antar också att $a<b$ (det motsatta fallet kan hanteras på liknande vis). Då ger extremvärdessatsen att $f$ har ett maximum på intervallet $[a,b]$. Med derivatans definition* kan vi direkt konstatera att maxvärdet inte kan antas i någon av ändpunkterna, eftersom det vore oförenligt med tecknet på $f'(a)$ och $f'(b)$. I stället måste maxvärdet antas för något $\xi\in (a,b)$. Ytterligare en applicering av derivatans definition** ger då att $f'(\xi)=0$, vilket motsäger premissen om nollskild derivata. Vi drar därför slutsatsen att $f'$ antingen är strängt positiv (så att $f$ är strängt växande) eller strängt negativ (så att $f$ är strängt avtagande).$\square$

* Om $a$ är en maximipunkt så skulle det innebära att $\small\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\leqslant 0$ för alla tillräckligt små $h>0$, vilket skulle innebära att $f'(a)\leqslant 0$, vilket motsäger $f'(a)>0$. På motsvarande vis skulle $f'(b)\geqslant 0$ gälla om $b$ vore en maximipunkt, vilket motsäger $f'(b)<0$.

** Notera att $\small\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\leqslant 0$ för alla tillräckligt små $h>0$, vilket ger att $f'(\xi)\leqslant 0$, samtdigt som $\small\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\geqslant 0$ för alla $h<0$ med tillräckligt litet belopp, vilket ger $f'(\xi)\geqslant 0$.

Det som pågår bakom kulisserna här är att även om nu alla deriverbara funktioner tyvärr inte är kontinuerligt deriverbara, så är derivator i vart fall alltid "nästan kontinuerliga" (de är så kallade darbouxfunktioner) i bemärkelsen att de uppfyller egenskapen i satsen om mellanliggande värde.

Sats (Darboux sats). Låt $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ vara en deriverbar funktion. Om $\lambda$ ligger strängt mellan $f'(a)$ och $f'(b)$ för några $a,b\in\mathbb{R}$, så finns det alltid något $\xi$ mellan $a$ och $b$ sådant att $f'(\xi)=\lambda$.

Bevis. Anta för enkelhetens skull att $f'(a)>\lambda>f'(b)$ (det motsatta fallet visas analogt), och studera funktionen $g(x)=f(x)-\lambda x$ med derivatan $g'(x)=f'(x)-\lambda$. Vi har då $g'(a)>0$ och $g'(b)<0$. Enligt vad vi visade ovan måste då $g'(\xi)=0$ gälla för något $\xi\in(a,b)$. Detta ger $f'(\xi)-\lambda=0$, dvs. $f'(\xi)=\lambda$. $\square$