Klurigt gränsvärde

Jag har fått i uppgift att beräkna gränsvärdet

$\lim_{x \to 0} f (x) / h (x)$

då f(x) = $\frac{x ² - 4 x}{x}$

och h(x) = $\frac{6 x ³ + 3 x ²}{x}$

Så här långt har jag kommit genom att multiplicera bråken och sedan förkorta:

$\lim_{x \to 0} (\frac{x ² - 4 x}{x}) / (\frac{6 x ³ + 3 x ²}{x}) = \lim_{x \to 0} (\frac{x - 4}{6 x ² + 3 x})$

Problemet är att jag inte vet hur jag ska kunna gå vidare utan att få något bråk med x i nämnaren. Division med x ger ju 1-4/x i täljaren.

Tack på förhand!

Bra början.

Pröva att förkorta med x² istället.

vad säger facit?

Om jag förkortar med x² får jag det till

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} - \frac{4}{x ²}}{6 + \frac{3}{x}}$

men även här har man ju bråk med x i nämnaren, vilket inte är att föredra. Finns det något bra sätt att komma vidare härifrån?

Detta var en av extrauppgifterna, som tyvärr saknar facit, i min lärobok.

Din första omskrivning är bra. Nämnaren går mot 0 och täljaren gör inte det. Det blir alltså inte ett tal, utan någon sorts oändlighet. Blir det positiva oändligheten eller negativa oändligheten, eller något annat?

dividera både täljaren och nämnaren med x och studera varje tal för sig.

Täljaren går mot -4 och nämnaren mot 0, enligt den första omskrivningen. När nämnaren blir mindre lär ju då kvoten gå mot negativ oändlighet, om jag har förstått det korrekt.

Tack för hjälpen.

tänk på att $\lim_{x \to 0} 1 / x = \pm o ä n d l i g h e t e n$

Jag skulle snarare säga att gränsvärdet saknas. Vad händer om du istället betraktar $x \rightarrow 0^+$ och $x \rightarrow 0^-$ ?

Nu när jag testar att skriva in det i GeoGebra ser jag att y-värdet verkar blir oändligt litet då x går mot 0, oavsett om det går mot 0⁺ eller 0⁻. Vad jag har fått lära mig är att gränsvärdet för x endast saknas om det kan finnas två gränsvärden för ett visst värde på x. Har jag tänkt fel?

Om vi går mot 0 från den negativa sidan kommer kvoten explodera mot $\infty$ , om vi istället kommer från den positiva sidan så kommer den explodera mot $- \infty$ , således existerar inte gränsvärdet.

Jag glömde svara på din fråga, men ja, låt säga att $x \rightarrow a$ , om vi får två olika 'tal' beroende på vilken sida vi kryper mot $a$ så existerar in gränsvärdet.

Jag förstår resonemanget, men grafen som jag får av att skriva in funktionen i grafräknaren motsvarar inte riktigt det, vad jag kan se

zooma ut lite så ser du nog.

Nu så..! Mitt fel :)

EmmaJo skrev:
Om jag förkortar med x² får jag det till

...

men även här har man ju bråk med x i nämnaren, vilket inte är att föredra.

Jag tänkte nog x går mot oändligheten istället för mot 0

Svara

Visa senaste svar