Klurigt gränsvärde

Hej,

Med $g(x)=\sqrt{1+x^2}$ och $f(x) = \frac{1}{\ln(x+g(x))}$ kan differensen skrivas $f(x) - f(0)$ och Medelvärdessatsen ger

    $f(x)-f(0) = f'(y_x) \cdot x$

för något $0<y_x<x.$ Kedjeregeln ger derivatan $f'(x).$

Två trollinlägg raderade. /Mod

Albiki skrev:

Hej,

Med $g(x)=\sqrt{1+x^2}$ och $f(x) = \frac{1}{\ln(x+g(x))}$ kan differensen skrivas $f(x) - f(0)$ och Medelvärdessatsen ger

    $f(x)-f(0) = f'(y_x) \cdot x$

för något $0<y_x<x.$ Kedjeregeln ger derivatan $f'(x).$

Menar du att f ska vara en funktion av g? För x=0 går väl inte stoppa in?

Och hur kommer man vidare till svaret när man vet derivatan? Eller menar du att vi bara ska stoppa in x och säga att det är 0?

Du har rätt att $f(0)$ är odefinierat så som jag definierat $f$ och $g.$ Jag hoppas att idén om att använda Medelvärdessatsen är användbar. 

Kommer det något facit? Eller iaf en ledtråd?

Micimacko skrev:

Kommer det något facit? Eller iaf en ledtråd?

Gemensam nämnare och sen L'Hôpitals regel. Hoppades på nån annan smart lösning annars! ✊☺️

Taylorutveckling blir någorlunda smidigt. Om vi låter $f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ blir

$f'\left(x\right)=\dfrac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{x\sqrt{x^2+1}+x^2+1}$

och

$f''\left(x\right)=\dfrac{\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1\right)(x\sqrt{x^2+1}+x^2+1)-(\sqrt{x^2+1}+x)\left(\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}+2x\right)}{(x\sqrt{x^2+1}+x^2+1)^2}$

med vilket vi beräknar $f(0)=0$, $f'(0)=1$ samt $f''(0)=0$.

Vi kan då Maclaurinutveckla $f(x)$:

$f\left(x\right)=x+x^3B_1(x)$

Utvecklingen för $\ln(1+x)$ är välkänd:

$\ln\left(1+x\right)=x-\dfrac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right)$

Vi kan då skriva vårt gränsvärdesuttryck som:

$\dfrac{1}{x+x^3B_1(x)}-\dfrac{1}{x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right)}=\dfrac{x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right)}{(x+x^3B_1\left(x\right))(x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right))}-\dfrac{x+x^3B_1\left(x\right)}{(x+x^3B_1\left(x\right))(x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right))}$

$=\dfrac{-\frac{x^2}{2}+x^3(B_2\left(x\right)-B_1\left(x\right))}{(x+x^3B_1\left(x\right))(x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right))}$

Förkortar vi nu med $x^2$ får vi

$=\dfrac{-\frac{1}{2}+x(B_2\left(x\right)-B_1\left(x\right))}{\frac{x+x^3B_1(x)}{x}\cdot\frac{x-\frac{x^2}{2}+x^3B_2\left(x\right)}{x}}=\dfrac{-\frac{1}{2}+x(B_2\left(x\right)-B_1\left(x\right))}{(1+x^2B_1(x))(1-\frac{x}{2}+x^2B_2\left(x\right))}$

Låter vi $x\to0$ får vi

$\lim_{x\to0}\dfrac{1}{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}-\dfrac{1}{\ln(x+1)}=\dfrac{-\frac{1}{2}+0}{(1+0)(1+0)}=-\dfrac{1}{2}$

Mycket vackert AlvinB! Hatten av!