Klurig uppgift binomial satsen

Hej,

Prova att dividera uttrycket med $x^{1000}$ följt av gruppering av termer med positiv exponent och motsvarande negativ exponent, till exempel $1+(1+x^{-1})^{1000}$ samt $(1+x)x^{-1}+(1+x^{-1})^{999}=(1+x^{-1})+(1+x^{-1})^{999}$ och $(1+x^{-1})^2+(1+x^{-1})^{998}$ och så vidare.

Det tycks ge en geometrisk summa i variabeln $y=1+x^{-1}.$

Intressant fråga. Polynomet är:

$\displaystyle \sum_{i=0}^{1000}\left(1+x\right)^{1000-i}x^{i}$

Du är intresserad av termerna i intervallet $i\in [0,50]$. Detta kan ge dig en summa av binomialtermer. Binomialsatsen ger:

$\displaystyle \left(1+x\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}$

Vi har att $n=1000-i$ och $k=950$ för sökt term så vi får följande summa:

$\displaystyle \sum_{i=0}^{50}\binom{1000-i}{950}$

Jag kan ha gjort fel någonstans på vägen, kan inte överskåda det just nu. 

Tips: om du kallar summan för $S$, vad blir då:

$\displaystyle S\cdot \frac{x}{1+x}-S$ ?