Klurig rotationsvolym

Har du ritat figur?

Börja med att rita upp en figur så du ser vilket område som ska rotera. Fundera också på hur kroppen kommer att se ut skissa även det, sen kan det vara läge att bestämma hur man räknar ut den sökta volymen.

Figur har jag ritat, har svårt att föreställa mig hur den kommer se ut efter rotation. Hmmmmmm

Hur ser din area ut?

Tänk dig nu att den roterar runt Y=-1, vad blir det då för typ av kropp?

Arean är väl ungefär som en triangel, så antar det blir som en donut men triangelformad? Oherregud

ja ungefär så, jag tänker mig att arean ser ut som en flygplansvinge i genomskärning, lutandes från origo snett upp åt höger.

När den roterar blir det mycket förenklat en tratt som är avskuren.

Edit, feltänkt!

Ture skrev :

ja ungefär så, jag tänker mig att arean ser ut som en flygplansvinge i genomskärning, lutandes från origo snett upp åt höger.

När den roterar blir det mycket förenklat en tratt som är avskuren.

Nej, det är inte vingen som roteras utan den "triangeln" med en kurvad sida ovanför. Se bild nedan. Den "triangeln" roteras kring den orangea linjen.

Det man kan börja med att göra för att förenkla problemet är att addera 1 till alla linjer och funktioner. Då blir det istället att man roterar området som begränsas av $y=1+\sqrt{x}$, $y=3$ och $y=1+x$ kring x-axeln. Se bild nedan.

Skärningspunkterna mellan kurvan och de två linjerna är, från vänster: x=1, x=2 och x=4. Du får alltså två integraler som du ska addera: (Jag förutsätter att du känner till formeln för rotation kring x-axeln)

     $V_1=\mathrm{\pi }{\int }_1^2{\left(1+x-\left(1+\sqrt{x}\right)\right)}^{2}dx=\mathrm{\pi }{\int }_1^2{\left(x-\sqrt{x}\right)}^{2}dx=\mathrm{\pi }{\int }_1^2\left(x^2-2x^{3/2}+x\right)dx=\frac{\left(139-96\sqrt{2}\right)\mathrm{\pi }}{30}$

     $V_2=\mathrm{\pi }{\int }_2^4{\left(3-\left(1+\sqrt{x}\right)\right)}^{2}dx=\mathrm{\pi }{\int }_2^4{\left(2-\sqrt{x}\right)}^{2}dx=\mathrm{\pi }{\int }_2^4\left(x-4\sqrt{x}+4\right)dx=\frac{2\left(8\sqrt{2}-11\right)\mathrm{\pi }}{3}$

Så

     $V_1+V_2=\frac{\left(64\sqrt{2}-81\right)\mathrm{\pi }}{30}\approx 0.99585.$

Ja Liriam du har rätt, triangeln är det!

Ett bra exempel på vikten av att rita figur. (Vilket jag inte gjorde utan bara tänkte mig området...)

Hur löser man den rotationsvolymen sen? 

Nu gäller det att välja metod, och räkna på.

Integrationsgränser?

Hur ser den funktion ut som du ska integrera?

Ja, skalmetoden bör väl användas men kommer inte så mycket längre

jodå, försök!

Pengs skrev :

Ja, skalmetoden bör väl användas men kommer inte så mycket längre

Se min edit ovan.

tackar!