Klurig problemlösning, detivata, behöver hjälp

Emmyerikssons skrev :

en fabrik ska tillverka kompostkärl. Dessa ska rymma 250liter och ha form av räta cirkulära cylindrar. Kärlen,som har lock, tillverkas i ett material som kostar 365kr/m2. Bestäm minsta möjliga materialkostnad då man tillverkar 500 kärl

 

ledtråd: svar ca 401000 kr

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Sätt upp en funktion som beskriver materialåtgången för ett kompostkärl.

Kalla radien för r och höjden för h. För enkelhetens skull så kan du räkna med en godstjocklek på 1.

Eftersom volymen är given (250 liter) så har du ett samband mellan r och h.

Det betyder att funktionen för materialåtgång kan beskrivas som en funktion av r (eller h).

Du ska minimera denna funktions värde.

Detta ger dig ett förhållande mellan r och h och därmed ett fast värde på materialåtgången för ett kärl.

Förstår principen för hur jag ska göra, men siffrorna blir fel

Svårt att undersöka vad som blir fel om du inte visar uträkningarna du gjort.

Du kan börja med sambandet mellan r och h:

Varje kärl ska rymma 250 liter, dvs 250 $dm^3$, dvs 0,25 $m^3$.

Kärlen är formade som cirkulära cylindrar, vilket betyder att ett kärls volym kan skrivas

$V=\pi r^2\cdot h$

Eftersom volymen är fixerad till 0,25 $m^3$ så gäller det alltså att

$0.25=\pi r^2\cdot h$, där r och h anges i meter.

Detta ger dig ett samband mellan radien r och höjden h.

Sedan kan du gå vidare och teckna ett uttryck för kärlets begränsningsarea A:

Kärlet består av två cirkulära skivor, var och en med area $\pi r^2$ och ett cylindriskt skal med area $2\pi r\cdot h$.

Kärlets totala area är alltså

$A=2\pi r^2+2\pi r\cdot h$

Detta uttryck kan förenklas och sedan kan du ersätta h (eller r) med uttrycket du får av sambandet du beräknade först.

Du har då hittat ett uttryck för arean A som endast beror av h (eller r).

Detta uttryck ska minimeras på sedvanligt vis och den minsta arean ska beräknas.

Multiplicera sedan denna minsta area med antalet kärl, multiplicera sedan med kvadratmeterkostnaden och du är framme.

Så tänkte jag men det blev ju fel..

Sätt inte in fler siffror än vad som är nödvändigt - sätter du in dem för tidigt kan du inte se att det går att förkorta bort variabler. 

Du har fått fram att volymen = $\pi r^2 h = 250$. Lös ut h ur den ekvationen (utan att sätta in fler siffror). 

Vilken area har komposttunnan? Om jag letar ordentligt hittar jag att du skrivit att Material = $2(\pi r^2)+2 \pi r h$. Sätt in ditt uttryck för h(r) som du fick från volymen och förenkla. Där har du funktionen du skall derivera. Du bör exempelvis kunna bryta ut $\pi$ ur uttrycket. När du satt att derivatan skall vara lika med 0 kan du ju förkorta med $\pi$.