Klurig omskrivning av konvergensradie

Kvotkriteriet:

$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{{\left({\displaystyle \frac{2z}{k+1}}\right)}^{k+1}*(k+1)!}{{\left(\frac{2z}{k}\right)}^k*\left(k\right)!}=(k+1)*\left(\frac{2z}{k+1}\right)*{\left(\frac{{\displaystyle \frac{2z}{k+1}}}{{\displaystyle \frac{2z}{k}}}\right)}^k=2z*{\left(\frac{k}{k+1}\right)}^k$

Gränsvärdet för ${\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k$då k går mot oändligheten är e.

${\left(\frac{k}{k+1}\right)}^k={\left(\frac{k+1}{k}\right)}^{-k}={\left(1+\frac{1}{k}\right)}^{-k}\to e^{-1}$

Detta ger radien.

(detta inlägg är redigerat, jag hade lite fel innan)