klurig integralproblem uppgift 12
Hej!
Jag har kört fast med denna uppgift och kommer ej på hur man ska ta sig vidare genom den? Jag vet att F(x)=f'(x) men jag vet ej hur man får fram intervall av x som gör att funktionen har lokala minimum?
Betrakta grafen för (3+t)/(2+sint).
Nämnaren är alltid positiv. Täljaren är positiv för t > –3.
Låt först x ligga mellan –3 och 10. Där ligger grafen över x-axeln. Integralen är arean av området under grafen från x till 10. Den arean minskar hela tiden när x närmar sig 10. Så F(x) avtar mellan –3 och 10.
Låt sedan x vara < –3. Där ligger grafen under x-axeln så integralen ökar när x rör sig mot –3. F(x) växer för x < –3.
Vi har alltså ett maximum för x = –3.
Nu ser vi vad som händer när x passerar 10. För x = 10 är F(x) = 0.
För x > 10 är (integralen från x till 10) = –(integralen från 10 till x) = –(positivt värde)
Så vid 10 går F från att vara positiv till att vara negativ och avtar fortsatt när x försvinner bort mot oändligheten.
Jag får att F växer till vänster om –3, har max vid –3 och avtar till höger om –3. Jag upptäcker inga minimima.
Marilyn skrev:Betrakta grafen för (3+t)/(2+sint).
Nämnaren är alltid positiv. Täljaren är positiv för t > –3.
Låt först x ligga mellan –3 och 10. Där ligger grafen över x-axeln. Integralen är arean av området under grafen från x till 10. Den arean minskar hela tiden när x närmar sig 10. Så F(x) avtar mellan –3 och 10.
Låt sedan x vara < –3. Där ligger grafen under x-axeln så integralen ökar när x rör sig mot –3. F(x) växer för x < –3.
Vi har alltså ett maximum för x = –3.
Nu ser vi vad som händer när x passerar 10. För x = 10 är F(x) = 0.
För x > 10 är (integralen från x till 10) = –(integralen från 10 till x) = –(positivt värde)
Så vid 10 går F från att vara positiv till att vara negativ och avtar fortsatt när x försvinner bort mot oändligheten.
Jag får att F växer till vänster om –3, har max vid –3 och avtar till höger om –3. Jag upptäcker inga minimima.
Kan man lösa detta algebraiskt?
Eftersom ena integrationsgränsen är x kan du tillämpa https://sv.wikipedia.org/wiki/Analysens_fundamentalsats.
Så du behöver inte integrera. Tänk på att gränserna är omkastade.
rapidos skrev:Eftersom ena integrationsgränsen är x kan du tillämpa https://sv.wikipedia.org/wiki/Analysens_fundamentalsats.
Så du behöver inte integrera. Tänk på att gränserna är omkastade.
Det här är matte 4 på basåret och ej universitetsmatematik. Analysens fundamentala sats går man väl ej igenom i matte 4?
Du skriver F(x)=f'(x) menar du inte F'(x)=f(x). I så fall är det huvudsatsen.
rapidos skrev:Du skriver F(x)=f'(x) menar du inte F'(x)=f(x). I så fall är det huvudsatsen.
Ja precis jag menar så.
Det blir väl såhär? Hur fortsätter vi sen då?
Då kan du göra en teckenstudie som Marilyn föreslår eller derivera -f(x) engång till => f'(x)=0 och hitta ett ev min.
Bifogad Geogebra visar gröna kurvan i -f(x)
Take it or leave it, men man behöver inga fundamentalsatser
Marilyn skrev:Take it or leave it, men man behöver inga fundamentalsatser
Tror du man hade fått poäng för en sån resonemang som du gör? Här är facits lösning:
rapidos skrev:Då kan du göra en teckenstudie som Marilyn föreslår eller derivera -f(x) engång till => f'(x)=0 och hitta ett ev min.
Bifogad Geogebra visar gröna kurvan i -f(x).Blåkurva visar -f'(x).Det blir2 minima = -1 och 4,4.
destiny99 skrev:Tror du man hade fått poäng för en sån resonemang som du gör? Här är facits lösning:
Jag måste alltid gardera mig för möjligheten att jag tänkt fel, men jag tycker min lösning är matematiskt helt korrekt.
Nu kom facitlösningen fram, det var samma resultat som mitt. Skönt!
Det viktiga är att se att kvoten i integranden byter tecken bara vid x = –3.
Marilyn skrev:destiny99 skrev:Tror du man hade fått poäng för en sån resonemang som du gör? Här är facits lösning:
Jag måste alltid gardera mig för möjligheten att jag tänkt fel, men jag tycker min lösning är matematiskt helt korrekt.
Nu kom facitlösningen fram, det var samma resultat som mitt. Skönt!
Det viktiga är att se att kvoten i integranden byter tecken bara vid x = –3.
Jag vill gärna gå igenom facits lösning stegvis för att förstå och göra korrekt. Kan vi göra det tack?
Nej, jag är dålig på den där fundamentalsatsen. Om jag försöker handleda där blir du bara mer förvirrad.
Marilyn skrev:Nej, jag är dålig på den där fundamentalsatsen. Om jag försöker handleda där blir du bara mer förvirrad.
Okej tack för hjälpen ändå.
Givetvis behövde man bara derivera F(x) eftersom skulle ha dess eventuella min. Jag tog ett steg för långt.
Ett fel på mitt handskrivna papper. Jag kallar bråkuttrycket i integralen för f(t). Skulle valt annan bokstav, facit skriver g(t).
De använder integralkalkylens huvudsats, vilket är ma3. Genom undre gränsen lika med x blir det faktiskt analysens huvudsats.
Vi kan ta lösningen på måndag på LiveHjälpen om du vill.
