Klassisk mekanik och variationskalkyl: Funktional av flera variabler?
Vi använder Euler Lagranges (differential)ekvation för att hitta y som minimerar: ∫L(y,y’,t)dt. Men y är en funktion och inte en generell kruva, är det inte en begränsning? Jag kan komma på scenarion där en kruva (som inte är en funktion) är lösningen till ett optimeringsproblem. Tex vi vill gå mellan två punkter i rummet, men det står ett berg i vägen (vi vill minimera höjdförändring på vår promenad), och det kanske är smartare att gå runt berget än över det. Den kurvan kanske inte är en funktion.
Skillnaden är alltså att optimera för en kurva gamma(t)=(x(t),y(t)) istället för en funktionsgraf
(x, f(x)). Är detta bara en extra variabel, så att integralen blir : ∫L(x(t), x’(t), y(t), y’(t), t) dt. istället?
Det är rätt. Om problemet har flera frihetsgrader så måste man använda flera beroende variabler.
Okej vad roligt!
Men, handlar det verkligen om frihetsgrader? Scenariot/frågan jag beskrev skulle kunna lösas även om vi bara tillät funktionskurvor, men svaret skulle bli "fel" för det skulle inte hittat den bästa vägen. Jag trodde att frihetsgrader var en inneboende egenskap*, inte någonting som vi ger/tillskriver ett system, speciellt borde inte svaret på ett optimeringsproblem förändras beroende på antal frihetsgrader vi ger systemet.
Så tänker jag... kanske nonsens
*Jag tänker tex systemet att vi har ett en pendel på en vagn. Det finns två frihetsgrader, en för vagnenes horisontella rörelse och en för pendelns vinkel mot vertikalen. Om vi lägger till en z rikting som går igenom planet så har den ingen påverkan på nånting överhuvudtaget, och speciellt inte rörelsen som vi förutspår vagnen och pendeln att ha.
Jag förstår inte vad menar med att kurvan inte är en funktion. Vad menar du med en generell kurva?
t brukar vara tiden i klassisk mekanik, och ett mekaniskt systmems läge är en funktion av tiden.
Förstod du så inte heller min ursprungliga fråga?
En funktion(sgraf) kan inte anta flera y värden för ett x värde. En cirkel är en kurva men inte en funktion, en halvcirkel [-1, 1] är däremot både en kurva och en funktion.
Ja, i det fallet kan du väl parametrisera cirkeln, tex med en vinkel v, men problemet har bara en frihetsgrad i alla fall.
Qetsiyah skrev:Skillnaden är alltså att optimera för en kurva gamma(t)=(x(t),y(t)) istället för en funktionsgraf
(x, f(x)). Är detta bara en extra variabel, så att integralen blir : ∫L(x(t), x’(t), y(t), y’(t), t) dt. istället?
Hur många frihetsgrader är det i de två fallen här? Det finns bara en oberoende variabel i båda fallen, så 1?
OK nu tror jag att jag vet vad du menar.
Om vi till exempel har en partikel som kan röra sig i två dimensioner så vill vi hitta partikelns koordinater x och y som funktioner av tiden. Vi vet redan att den kurva som partikeln kan ta kan vara ganska komplicerad, tex bli en cirkel, spiral, hyperbel etc. Så vi kan i allmänhet inte beskriva kurvan som y = f(x).
Men även i det fall att vi skulle kunna skriva kurvan som y = f(x) så ger det oss inte en fullständig information. Tänk dig en bil (partiklen) som rör sig längs en väg given av y = f(x), då skulle vi kunna tänka oss oändligt många olika lösningar. Tex kan du köra fort i början och långsamt i slutet eller tvärt om, och så vidare och så vidare.
Ett annat problem skulle kunna vara att partikeln rör sig på en från början angiven bana y = f(x). Du har då ett tvångsvillkor som gör att problemet inte längre har två frihetsgrader utan bara en frihetsgrad - du behöver bara ange x för att fullständigt veta partikelns position.
Hoppas det blev klarare.
