Klassificering

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med hur man ska klassificera följande abelska grupper:

Klassificera följande abelska kvotgrupper med hjälp av struktursatsen för ändliga abelska grupper.

a) $(ℤ_{4} \times ℤ_{6}) / <(2, 2)>$

b) $(ℤ_{4} \times ℤ_{6}) / <(2, 1)>$

Jag ser i svaret att för a blir det $ℤ_{2} \times ℤ_{2}$ medans det för b ska bli $ℤ_{4}$ men jag förstår inte riktigt hur dom kommer fram till svaret.

Jag vet från struktursatsen att en ändlig abelsk grupp alltid är isomorf med en direkt produkt av cykliska grupper på formen $ℤ_{p n^{r n}}$ där p är primtal och r positiva heltal men jag förstår ändå inte hur man ska gå till väga för att klassificera kvotgrupperna.

Man kan ju nog tänka på lite olika sätt. Men att klassificera att ordningen på grupperna är 4 är nog inga problem. Om dom sedan är isomorf med $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ eller med $\mathbb{Z}_4$ kan du ju avgöra genom att försöka hitta en generator för gruppen.

Eftersom om $(ℤ_{4} \times ℤ_{6}) / < 2, 2 >$ är isomorf med en cyklisk grupp så måste ju även denna grupp vara cyklisk. Om den inte är det så måste den vara isomorf med $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ .

Jag kan ju se att samtliga element 0,1,2,3 genererar gruppen Z4 samt att samtliga element i Z6 genererar gruppen så hur ska man dra några slutsatser av det?

Fast samtliga element genererar inte grupperna. Om vi bara håller oss till a) så har du ju att (1, 1) har ordningen 2. (1, 0) har ordningen 2, (0, 1) har ordningen 2. Så alltså har alla ordningen två. Vi måste alltså vara i $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$

men hur får vi från början att vi tittar på gruppen $ℤ_{2} \times ℤ_{2}$ ? då vi i a börjar med gruppen $ℤ_{4} \times ℤ_{6}$

Sedan om vi tittar på Z2 ser vi ju att 0.1 och 1,0 kan generera hela gruppen samt även 1,1 så den delen är jag med på.

Du har ju att ordningen på gruppen i a) är fyra. Så enda sättet att uttrycka det med primtal är $2\cdot 2$ eller som $2^2 = 4$ , så vi måste ha att gruppen blir isomorf med antingen $Z_2 \times Z_2$ eller med $Z_4$ .

okej så de möjliga svaren blir 2*2 eller 4 för a uppgiften. För b uppgiften har vi Z4 eller Z6 och det enda sätt att uttrycka det i primtal blir ju även det $2^{2} = 4$ och även där bli isomorf med Z2*Z2 eller Z4

Ja, det stämmer, men anledningen är alltså att kvotgruppen har ordningen 4. Så man tittar alltså inte enbart på Z4 och Z6.

okej men om man tittar på b uppgiften så den enda skillnaden är ju i kvoten att vi har (2,2) istället för (2,1)

Vi har ju även att vi kan få ordningen 4 genom 2*2 så att gruppen blir isomorf med antingen $ℤ_{2} * ℤ_{2}$ eller $ℤ_{4}$ . Tittar jag i facit ser jag att svaret ska bli $ℤ_{4}$ jag är inte riktigt med på hur man ska avgöra ifall det blir Z2*Z2 eller Z4

I kvotgruppen så får du ju i princip kvar elementen (0, 0), (1, 1), (0, 1) och (1, 0) på b).

Man kan kolla att (1, 1) har ordningen 4 och att (1, 0) har ordningen 4. Något som ett element i $Z_2 \times Z_2$ kan ha. Därför måste vi befinna oss i $Z_4$ .

Men det kanske finns något smidigare sätt att bestämma vilken grupp vi befinner oss i som jag inte kommer på.

Svara

Visa senaste svar