klass C^1 eller C^n

Hej,

jag läser på om glatta funktioner (dvs den är oändligt många gånger deriverbar- eller hur?)

frågor kring detta :

1) hur kan man se att den verkligen är deriverbar till oändligt många gånger? Jag tänker om man tex kan se likt algebran, att ett ekvationssystem har oändligt många. För om vi säger att om $n = \infty$ dvs $C^n = C^{\infty}$ hur kan man verkligen se att den är deriverbar till oändligheten? och inte tex.. att den stannar vid... ja.. +(hittar på en siffra) $10^{100}$ gånger? Hmm.. förstår ni frågan? Det känns så abstrakt "ja den är deriverbart i oändligheten dvs helt glatt" men man ba "Men hur kan du se/räkna ut det?"

2) När man sedan sätter till klass $C^1$ då menas det ju att den bara är deriverbar EN gång? Och klass $C^2$ två gånger?

Men om man tänker genom hela flervariables-kursen(kanske överlag) så är det väldigt mycket krav på att det ska va så mycket $C^1$ Tex.. variabelbyte måste vara klass C^1.

3) Varför måste den vara just klass C^1, varför "stannar" den där? Varför inte klass C^2? - är det, det wikipedia artikeln pratar om att man tycker att "den är tillräckligt glatt" ..?

Hoppas mina frågor inte är allt för konstiga, och att jag är tydlig ^^^

Kan ta två satsers' exempel: Variabelbyten (ska va klass C1) stokes?Greens? Gauss? Analytiska funktioner?) Om ngn tycker det blir enklare att referera till de olika satserna.. Hmm.. vilket i och för sig kanske blir mer abstrakt (ty jag förstår satserna rätt bra)

1. Det är enkelt att visa för grundläggande funktioner, sen så följer att produkter och summor (och sammansättningar? Tror inte det) av dessa också är det. Polynom blir som du vet noll förr eller senare, trigonometriska funktioner bildar cykler.

2. ja...? Det är väl inte så konstigt

3. Det är (som så ofta annars) för att inte tappa generalitet, det är bara 1 som behövs för att vissa satser ska gälla, alltså nöjer vi oss med det.

Off topic: se detta: https://www.pluggakuten.se/trad/analys-om-en-funktion-ar-glatt-sa-kan-den-inte-vara-olinjar-sedan-linjar/

Edit: induktionsbevis...?

Om man vill att en funktion ska vara tex c1 i en viss sats så brukar det betyda att första derivatan används någonstans för att bevisa satsen, så annars vet man inte om den funkar.

Sammansättningar blir väl också deriverbara? Har någon glömt kedjeregeln? 😜

De flesta funktioner som inte är c-oändliga kan man se på formeln att den byts ut någonstans, typ som för stegfunktioner. Integrerar man en sån n gånger så blir svaret Cn.

Micimacko skrev:
Om man vill att en funktion ska vara tex c1 i en viss sats så brukar det betyda att första derivatan används någonstans för att bevisa satsen, så annars vet man inte om den funkar.
Sammansättningar blir väl också deriverbara? Har någon glömt kedjeregeln? 😜
De flesta funktioner som inte är c-oändliga kan man se på formeln att den byts ut någonstans, typ som för stegfunktioner. Integrerar man en sån n gånger så blir svaret Cn.

När ni säger sammansättningar, menar ni sammansatta funktioner (haha vill bara vara helt säker xD)

Micimacko skrev:

De flesta funktioner som inte är c-oändliga kan man se på formeln att den byts ut någonstans, typ som för stegfunktioner. Integrerar man en sån n gånger så blir svaret Cn.

Då menar du typ polynom?

Qetsiyah skrev:
1. Det är enkelt att visa för grundläggande funktioner, sen så följer att produkter och summor (och sammansättningar? Tror inte det) av dessa också är det. Polynom blir som du vet noll förr eller senare, trigonometriska funktioner bildar cykler.
2. ja...? Det är väl inte så konstigt
3. Det är (som så ofta annars) för att inte tappa generalitet, det är bara 1 som behövs för att vissa satser ska gälla, alltså nöjer vi oss med det.
Off topic: se detta: https://www.pluggakuten.se/trad/analys-om-en-funktion-ar-glatt-sa-kan-den-inte-vara-olinjar-sedan-linjar/
Edit: induktionsbevis...?

Hmm.. induktionsbevis för att om det gäller för C^n, så ska det gälla för C^(n+1) också?

Ja sammansatta funktioner. Polynom vet jag inte vad du fick ifrån? Stegfunktioner hoppar, tex om du ritar en trappa. Då har den olika formler för olika x, tex 0 om x är 0 till 1, 1 om x är 1 till 2 osv.

Micimacko skrev:
Sammansättningar blir väl också deriverbara? Har någon glömt kedjeregeln? 😜

Nej men jag tänkte bara... att det är svårare att visa än produkter och summor i alla fall, men det blir ju summor och produkter när man deriverar fler gånger ändå.

Hmm.. induktionsbevis för att om det gäller för C^n, så ska det gälla för C^(n+1) också?

Har du gått fervariabelanalys?

Qetsiyah skrev:
Micimacko skrev:
Sammansättningar blir väl också deriverbara? Har någon glömt kedjeregeln? 😜
Nej men jag tänkte bara... att det är svårare att visa än produkter och summor i alla fall, men det blir ju summor och produkter när man deriverar fler gånger ändå.
Hmm.. induktionsbevis för att om det gäller för C^n, så ska det gälla för C^(n+1) också?
Ja
Har du gått fervariabelanalys?

Håller på med den kursen nu

Svara

Visa senaste svar