Kinetik, en myra på en skiva

Jag har suttit med den här uppgiften ett tag och får fel med en faktor 1/2.

Metod:

Först skriver vi upp kraftekvationerna, vi använder oss av cylinderkoordinater:

$\left\{\begin{matrix}e_{r}: m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}) = 0\e_{\theta}: m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}) = -F\e_{z}: m\ddot{z} = N - mg\end{matrix}\right.$

Vi förenklar den andra koordinaten

$m(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) = \left\{ r\ddot{\theta} = 0, \dot{\theta} = \omega_{0} \right\} = 2m\omega_{0}\dot{r} = \left\{ F=\mu N\right\} = -\mu N = -\mu mg \Rightarrow 2\omega_{0}\dot{r} = -\mu g$

Vi ser att det är på formen i frågan (sista uttrycket)

Sedan söker vi ett en uttryck för hastigheten i radien

$\ddot{r}=\frac{d\dot{r}}{dr}\frac{dr}{dt}=\dot{r}\frac{d\dot{r}}{dr}=\left\{ \ddot{r} = r\omega_{0}^{2} \right\} = r\omega_{0}^{2} \Rightarrow \dot{r}d\dot{r} = \omega_{0}^{2}rdr$

$\int \dot{r}d\dot{r} = \int \omega_{0}^{2}rdr \Rightarrow \frac{1}{2}\dot{r}^{2} = \frac{1}{2}\omega_{0}^{2}r^{2} + C$

Begynnelsevillkor ger

$\dot{r}^{2} = \omega_{0}^{2}r^{2} + v_{0}^{2}$

$r=\frac{1}{\omega_{0}}\sqrt{\dot{r}^{2} - v_{0}^{2}}$

Som vi kan stoppa in i den första ekvationen

$2\omega_{0}\dot{r} = -\mu g \Rightarrow \dot{r} = -\frac{\mu g}{2\omega_{0}}$

$r = \frac{1}{\omega_{0}}\sqrt{(-\frac{\mu g}{2\omega_{0}})^{2}-v_{0}^{2}} = ... = \frac{1}{2\omega_{0}^{2}} \sqrt{\mu^{2}g^{2}-4\omega_{0}^2v_{0}^{2}}$

Men det är fel svar, rätt svar är 

$\frac{1}{\omega_{0}^{2}} \sqrt{\mu^{2}g^{2}-4\omega_{0}^2v_{0}^{2}}$

Var har jag gjort fel?