Kinematik: Pilens acceleration i en pilbåge

Har du räknat ut det numeriska fallet? Kanske är termen med x³ försumbar.

Sedan får du nog skriva lite text för att förklara vad du gör. Skriv lösningar på samma sätt som exempel i boken: med ritningar, med text.

Pieter Kuiper skrev:

Har du räknat ut det numeriska fallet? Kanske är termen med x³ försumbar.

Sedan får du nog skriva lite text för att förklara vad du gör. Skriv lösningar på samma sätt som exempel i boken: med ritningar, med text.

Förlåt, jag förtydligar lösningen lite. Jag länkade även en YouTube-video vars rekommenderade lösningsmetod jag starkt insprierats av.  Klickar man på länken bör den gå till rätt del av videon; men det ska självfallet inte behövas för att förstå vad jag gjort.

Jag inser ett fel jag gjort nu, jag har tänkt från pilens bakre del, medan $x$ betecknar avståndet från pilens spets till origo enligt uppgiftens ritning.

Är detta lättare att begripa?

Facit ger inga numeriska svar för det rena hastighetsuttrycket utan endast för maxhastigheten. Ges den av nollställen för derivatan av hastigheten? Derivatan av hastigheten är ju accelerationen, som har nollställen då $\frac{x}{l}=1$ dvs då $x=l$ (enligt uttrycket som uppgiften gav). Då $x=l$ ger mitt hastighetsuttryck $\sqrt{2a_0\cdot \frac{l^2}{2}}=\sqrt{a_0 l^2}$ vilket återigen har en expontent för mycket. Antar att det jag såg på YouTube - "how to solve any question" - kanske jag tolkar fel? 

coffeshot skrev:

Facit ger inga numeriska svar för det rena hastighetsuttrycket utan endast för maxhastigheten. Ges den av nollställen för derivatan av hastigheten?  

Hastigheten är maximal när pilen lämnar bågsträngen, det var redan givet att hastighetens derivata (dvs accelerationen) är noll där.

Jag skulle nog använda ett energiresonemang.
 

Pieter Kuiper skrev:

coffeshot skrev:

Facit ger inga numeriska svar för det rena hastighetsuttrycket utan endast för maxhastigheten. Ges den av nollställen för derivatan av hastigheten?  

Nej. Hastigheten är maximal när pilen lämnar bågsträngen, hastighetens derivata (accelerationen) är inte definierad där.

Jag skulle nog använda ett energiresonemang.

Om $x=l$ får jag att $v(l)=\sqrt{a_0l^2}$, vilket fortfarande är fel med en exponent från vad facit säger.

Det jag menade var att man kan se att accelerationen är maximal då $x=l$ från accelerationsuttrycket. Oavsett vad, sätter jag in det i mitt uttryck får jag tyvärr fel svar.

Jag ändrade lite i mitt förra inlägg.

Så accelerationen är inte uniform. Men det är fortfarande ett endimensionellt problem. En numerisk lösning kan inte vara så svårt.

Pieter Kuiper skrev:

Jag ändrade lite i mitt förra inlägg.

Så accelerationen är inte uniform. Men det är fortfarande ett endimensionellt problem. En numerisk lösning kan inte vara så svårt.

I facit svarar de med ett uttryck för $v_{max}$, och den numeriska lösningen är väl bara att plugga in värden för $a_0$ och $l$ som de gav? Det är jag med på. Men facits uttryck för $v_{max}$ är $\sqrt{a_0 l}$, vilket jag tolkar det som de fått genom att räkna ut $v(l)$ enligt deras uttryck för hastigheten. 

Direktkopierat från facit, allt som står:

"$v(x)=\sqrt{2a_0(x-\frac{x^2}{2l})}$, $v_{max}=\sqrt{a_0l}$ och speciellt $v_{max}=50m/s$".

Men det jag kommer fram till är som sagt att

$v(x)=\sqrt{2a_0(x^{\mathbf 2}-\frac{x^{\mathbf 2}}{2l})}$ och därav $v_{max}=v(l)=\sqrt{a_0l^2}$. Sätter jag in $a_0=5000m/s^2$ och $l=0.50m$ i mitt uttryck får jag inte $50m/s$ utan ungefär $35m/s$. (detta blir den numeriska lösningen som jag tolkar det)

Känns som att du kanske tappat mig litegrann, gör detta mina funderingar tydligare?

coffeshot skrev:

den numeriska lösningen är väl bara att plugga in värden för $a_0$ och $l$ som de gav?  

Det är ett sätt. 

Det andra sättet är att göra en helt numerisk uträkning med ett litet datorprogram. Det brukar ge insikt.

Eller ett energiresonemang: $W =  \int F ds = E_{\rm kin}$. 

$v^2\left(x\right)=2{\int }_0^{x}a\left(x\text{'}\right)dx\text{'}=2a_0{\int }_0^x\left(1-\frac{x\text{'}}{l}\right)dx\text{'}=2a_0{\left[x\text{'}-\frac{x{\text{'}}^2}{2l}\right]}_0^x=2a_0\left(x-\frac{x^2}{2l}\right)$.

$\boxed{v\left(x\right)=\sqrt{2a_0\left(x-\frac{x^2}{2l}\right)}}$

PATENTERAMERA skrev:

$v^2\left(x\right)=2{\int }_0^{x}a\left(x\text{'}\right)dx\text{'}=2a_0{\int }_0^x\left(1-\frac{x\text{'}}{l}\right)dx\text{'}=2a_0{\left[x\text{'}-\frac{x{\text{'}}^2}{2l}\right]}_0^x=2a_0\left(x-\frac{x^2}{2l}\right)$.

$\boxed{v\left(x\right)=\sqrt{2a_0\left(x-\frac{x^2}{2l}\right)}}$

Ja det där är ju rätt uttryck. Skulle du kunna förklara varför det är $x^\prime$ och inte $x$ vi ska sätta i$a$? Det är det jag inte riktigt hänger med på.

Pieter Kuiper skrev:

coffeshot skrev:

den numeriska lösningen är väl bara att plugga in värden för $a_0$ och $l$ som de gav?  

Det är ett sätt. 

Det andra sättet är att göra en helt numerisk uträkning med ett litet datorprogram. Det brukar ge insikt.

Eller ett energiresonemang: $W =  \int F ds = E_{\rm kin}$. 

Haha, får väl ta fram MatLab. Men detta är en kurs som inte ska kräva några datorprogram för att lösa uppgiften och det är inte den biten (att bestämma när hastigheten är maximal) som jag har problem med. Det är att bestämma själva uttrycket för hastigheten.

coffeshot skrev:

Pieter Kuiper skrev:

Eller ett energiresonemang: $W =  \int F ds = E_{\rm kin}$. 

 det är inte den biten (att bestämma när hastigheten är maximal) som jag har problem med. Det är att bestämma själva uttrycket för hastigheten.

Det var det numerisk värdet på maxhastigheten som var efterfrågat. Inte tiden. Och jag har redan några gånger sagt hur man kan göra.

Om man har fastnat på det analytiska kan man försöka det numeriska först. Även när det inte ingår i uppgiften, hitta på några lämpliga värden, gränsfall osv. Det brukar ge insikt.

coffeshot skrev:

PATENTERAMERA skrev:

$v^2\left(x\right)=2{\int }_0^{x}a\left(x\text{'}\right)dx\text{'}=2a_0{\int }_0^x\left(1-\frac{x\text{'}}{l}\right)dx\text{'}=2a_0{\left[x\text{'}-\frac{x{\text{'}}^2}{2l}\right]}_0^x=2a_0\left(x-\frac{x^2}{2l}\right)$.

$\boxed{v\left(x\right)=\sqrt{2a_0\left(x-\frac{x^2}{2l}\right)}}$

Ja det där är ju rätt uttryck. Skulle du kunna förklara varför det är $x^\prime$ och inte $x$ vi ska sätta i$a$? Det är det jag inte riktigt hänger med på.

Det är för att skilja på integrationsvariabeln och slutvärdet för integrationsintervallet. En del skulle kanske kalla båda för x, men det blir lite förvirrande tycker jag.

Med dimensionsanalys får man att facits uttryck är roten ur (m/s2 * m), alltså m/s, som det ska vara, men ditt uttryck ger något annat.

PATENTERAMERA skrev:

coffeshot skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

$v^2\left(x\right)=2{\int }_0^{x}a\left(x\text{'}\right)dx\text{'}=2a_0{\int }_0^x\left(1-\frac{x\text{'}}{l}\right)dx\text{'}=2a_0{\left[x\text{'}-\frac{x{\text{'}}^2}{2l}\right]}_0^x=2a_0\left(x-\frac{x^2}{2l}\right)$.

$\boxed{v\left(x\right)=\sqrt{2a_0\left(x-\frac{x^2}{2l}\right)}}$

Ja det där är ju rätt uttryck. Skulle du kunna förklara varför det är $x^\prime$ och inte $x$ vi ska sätta i$a$? Det är det jag inte riktigt hänger med på.

Det är för att skilja på integrationsvariabeln och slutvärdet för integrationsintervallet. En del skulle kanske kalla båda för x, men det blir lite förvirrande tycker jag.

Är felet jag gjort i min lösning då att helt enkelt inte insett detta och tänkt att de är samma sak (se min uppdaterade lösning ovan). Återigen, jag länkar till en YouTube-video i OP (gå till 9:17) där de behandlar $s$ (vad jag tolkat som $x$, eftersom jag tänkt att vi har en rörelse längs med $x$-axeln) som både integrationsvariabel *och* funktionsvariabel. (Videolänk: Rectilinear Kinematics: Erratic Motion (learn to solve any problem step by step) (youtube.com)).  Jag förstår inte om jag tolkat videons metod fel?

Det var det numerisk värdet på maxhastigheten som var efterfrågat. Inte tiden. Och jag har redan några gånger sagt hur man kan göra.

Jag anses mig ha tagit fram ett uttryck $v(x)$ som vid $x=l$ bör ge hastigheten. Eller tänker jag fel?

Om man har fastnat på det analytiska kan man försöka det numeriska först. 

Jag tror det jag snarare fastnat på är hur man kan gå mellan funktioner som uttrycker hastighet, läge och acceleration i olika variabler.

Med dimensionsanalys får man att facits uttryck är roten ur (m/s2 * m), alltså m/s, som det ska vara, men ditt uttryck ger något annat.

Yes, är med på hur det är fel, försöker bara förstå vad det är jag inte har fattat:( 

Återkom till uppgiften och inser att det bara var jag som virrat bort mig totalt på integralen som PATENTERAMERA antydde. Det hjälpte att först bestämma primitiv funktion utan gränser och sedan sätta $F(x)-F(0)$ så löste det sig finfint.

coffeshot skrev:

Pieter Kuiper skrev:
Det andra sättet är att göra en helt numerisk uträkning med ett litet datorprogram. Det brukar ge insikt.

Haha, får väl ta fram MatLab.  

Man kan skriva lite kod i Python eller dylikt, man kan till och med börja räkna för hand. Det ger insikt, också i vad man egentligen gör i analytiska lösningar. Det ger mer insikt än Youtubefilmer, även mer insikt än att få en färdig lösning här på Pluggakuten.

Det är därför att sådana uppgifter ger det som en numerisk uppgift också. Så att man inte fastnar i analys.

Pieter Kuiper skrev:

coffeshot skrev:

Visa föregående citat

Pieter Kuiper skrev:
Det andra sättet är att göra en helt numerisk uträkning med ett litet datorprogram. Det brukar ge insikt.

Haha, får väl ta fram MatLab.  

Man kan skriva lite kod i Python eller dylikt, man kan till och med börja räkna för hand. Det ger insikt, också i vad man egentligen gör i analytiska lösningar. Det ger mer insikt än Youtubefilmer, även mer insikt än att få en färdig lösning här på Pluggakuten.

Det är därför att sådana uppgifter ger det som en numerisk uppgift också. Så att man inte fastnar i analys.

Jag förstår! Just i detta fall var det bara jag som gjorde ett slarvfel på en integral $\int^x_0 xdx= \frac{x^2}{2}\neq \frac{x^3}{2}$. Anledningen till att jag nämnde MatLab är att jag precis läst en kurs i numeriska metoder och håller med dig om att det är intressant att lösa "verkliga" problem numeriskt.