Kedjreregel, derivering

Många steg och jobbigt att skriva.

Men ln kommer ifrån att du har upphöjt till något med variabeln.
Tex  $D{a}^x=a^x·\ln \left(a\right)$

Ex 2:  $D{a}^{\sqrt{x}}=\frac{a^{\sqrt{x}}·\log \left(a\right)}{2\sqrt{x}}$

Men jag tycker det känns märkligt. Alla gånger jag använt kedjeregeln har jag direkt kunnat tillämpa den likt ovan. Se exempelvis detta tal:

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = \sin \left(e^{x^2}\right) \\ Df\left(x\right) = D\left[\sin \right(e^{x^2}\left)\right] * D\left[e^{x^2}\right] * D{x}^2 = \cos \left(e^{x^2}\right) * e^{x^2}*2x \end{gathered}$$

Och Df(x) trillar fram. Varför kan jag inte göra samma här? Jag blir jätteförvirrad då jag tycker att det måste gå att göra så

För att kunna använda kedjeregeln direkt behöver funktionen kunna skrivas som $f\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)$ men här har du istället $f{\left(x\right)}^{g\left(h\left(x\right)\right)}$ så funktionen behöver skrivas om innan du kan använda kedjeregeln.

Jag vet inte om jag hänger med, hur skriver jag i så fall om funktionen? Edit: Det är därför man använder att f(x) = e^ln(f(x)) alltså?

Aha, men då har du f(g(h(x))) och så är det ju inte riktigt i dina andra exempel

Tex $D{x}^x$ då går det inte att se kedjeregeln. Men

$D{x}^x=D{e}^{\ln x^x}=D{e}^{x\ln x}$  och då går det att lösa (med kedjeregeln och produktregeln)

kedjeregeln med f=e^g  och g=xlnx

Men det här är egentligen mer än vad jag kan. Kanske någon annan kan förklara bättre.

 Men om man ser på funktionen f(x) = sin(e^x^2) som i exemplet jag gav lite längre upp, jag har svårt att se vad skillnaden är.. Det blir väldigt lätt rörigt och tänka f(g(h(x))) osv. Det känns svårt att kunna se när man ska tillämpa kedjeregeln direkt, eller skriva om som exponentfunktion.

Edit: ser nu föregående inlägg. Jag förstår nu bättre, men det är knepigt att förstå när man inte kan skriva funktionen som f(g(h(x))) istället för $f(x{)}^{g\left(x\right)}$ exempelvis